Επίλυση (1+sqrt{2}+sqrt{3})(2+sqrt{2}-sqrt{6})-(sqrt{3}-1)^2

$$( 1 + \sqrt { 2 } + \sqrt { 3 } ) ( 2 + \sqrt { 2 } - \sqrt { 6 } ) - ( \sqrt { 3 } - 1 ) ^ { 2 }$$

Υπολογισμός

$$2\sqrt{3}\approx 3,464101615$$

Βήματα λύσης

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 1+\sqrt{2}+\sqrt{3} με το 2+\sqrt{2}-\sqrt{6} και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2+3\sqrt{2}-\sqrt{6}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\sqrt{2}\sqrt{6}+2\sqrt{3}+\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

Το τετράγωνο του \sqrt{2} είναι 2.

$$2+3\sqrt{2}-\sqrt{6}+2-\sqrt{2}\sqrt{6}+2\sqrt{3}+\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

Προσθέστε 2 και 2 για να λάβετε 4.

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{6}-\sqrt{2}\sqrt{6}+2\sqrt{3}+\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

Παραγοντοποιήστε με το 6=2\times 3. Γράψτε ξανά την τετραγωνική ρίζα του προϊόντος \sqrt{2\times 3} ως το γινόμενο των τετράγωνου ρίζες \sqrt{2}\sqrt{3}.

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{6}-\sqrt{2}\sqrt{2}\sqrt{3}+2\sqrt{3}+\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

Πολλαπλασιάστε \sqrt{2} και \sqrt{2} για να λάβετε 2.

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{6}-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}+\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

Συνδυάστε το -2\sqrt{3} και το 2\sqrt{3} για να λάβετε 0.

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

Για να πολλαπλασιάστε \sqrt{3} και \sqrt{2}, πολλαπλασιάστε τους αριθμούς κάτω από την τετραγωνική ρίζα.

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{6}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

Συνδυάστε το -\sqrt{6} και το \sqrt{6} για να λάβετε 0.

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

Παραγοντοποιήστε με το 6=3\times 2. Γράψτε ξανά την τετραγωνική ρίζα του προϊόντος \sqrt{3\times 2} ως το γινόμενο των τετράγωνου ρίζες \sqrt{3}\sqrt{2}.

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{2}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

Πολλαπλασιάστε \sqrt{3} και \sqrt{3} για να λάβετε 3.

$$4+3\sqrt{2}-3\sqrt{2}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

Συνδυάστε το 3\sqrt{2} και το -3\sqrt{2} για να λάβετε 0.

$$4-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$4-\left(\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+1\right)$$

Το τετράγωνο του \sqrt{3} είναι 3.

$$4-\left(3-2\sqrt{3}+1\right)$$

Προσθέστε 3 και 1 για να λάβετε 4.

$$4-\left(4-2\sqrt{3}\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 4-2\sqrt{3}, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$4-4+2\sqrt{3}$$

Αφαιρέστε 4 από 4 για να λάβετε 0.

$$2\sqrt{3}$$