Επίλυση (-12-k)^2-4(4)(4)=0

$$( - 12 - k ) ^ { 2 } - 4 ( 4 ) ( 4 ) = 0$$

Λύση ως προς k

$$k=-20$$

$$k=-4$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(-12-k\right)^{2}.

$$144+24k+k^{2}-4\times 4\times 4=0$$

Πολλαπλασιάστε 4 και 4 για να λάβετε 16.

$$144+24k+k^{2}-16\times 4=0$$

Πολλαπλασιάστε 16 και 4 για να λάβετε 64.

$$144+24k+k^{2}-64=0$$

Αφαιρέστε 64 από 144 για να λάβετε 80.

$$80+24k+k^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$k^{2}+24k+80=0$$

Για την επίλυση της εξίσωσης, παραγοντοποιήστε την παράσταση k^{2}+24k+80 χρησιμοποιώντας τον τύπο k^{2}+\left(a+b\right)k+ab=\left(k+a\right)\left(k+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=24 ab=80$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Δεδομένου ότι το a+b είναι θετικό, a και b είναι και τα δύο θετικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 80.

$$1,80 2,40 4,20 5,16 8,10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+80=81 2+40=42 4+20=24 5+16=21 8+10=18$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 24.

$$a=4 b=20$$

Η επανεγγραφή της παράστασης παραγοντοποιήθηκε \left(k+a\right)\left(k+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που λήφθηκαν.

$$\left(k+4\right)\left(k+20\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε k+4=0 και k+20=0.

$$k=-4 k=-20$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(-12-k\right)^{2}.

$$144+24k+k^{2}-4\times 4\times 4=0$$

Πολλαπλασιάστε 4 και 4 για να λάβετε 16.

$$144+24k+k^{2}-16\times 4=0$$

Πολλαπλασιάστε 16 και 4 για να λάβετε 64.

$$144+24k+k^{2}-64=0$$

Αφαιρέστε 64 από 144 για να λάβετε 80.

$$80+24k+k^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$k^{2}+24k+80=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως k^{2}+ak+bk+80. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=24 ab=1\times 80=80$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Δεδομένου ότι το a+b είναι θετικό, a και b είναι και τα δύο θετικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 80.

$$1,80 2,40 4,20 5,16 8,10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+80=81 2+40=42 4+20=24 5+16=21 8+10=18$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 24.

$$a=4 b=20$$

Γράψτε πάλι το k^{2}+24k+80 ως \left(k^{2}+4k\right)+\left(20k+80\right).

$$\left(k^{2}+4k\right)+\left(20k+80\right)$$

Παραγοντοποιήστε το k στην πρώτη και το 20 στη δεύτερη ομάδα.

$$k\left(k+4\right)+20\left(k+4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο k+4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(k+4\right)\left(k+20\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε k+4=0 και k+20=0.

$$k=-4 k=-20$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(-12-k\right)^{2}.

$$144+24k+k^{2}-4\times 4\times 4=0$$

Πολλαπλασιάστε 4 και 4 για να λάβετε 16.

$$144+24k+k^{2}-16\times 4=0$$

Πολλαπλασιάστε 16 και 4 για να λάβετε 64.

$$144+24k+k^{2}-64=0$$

Αφαιρέστε 64 από 144 για να λάβετε 80.

$$80+24k+k^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$k^{2}+24k+80=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 24 και το c με 80 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 80}}{2}$$

Υψώστε το 24 στο τετράγωνο.

$$k=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 80}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 80.

$$k=\frac{-24±\sqrt{576-320}}{2}$$

Προσθέστε το 576 και το -320.

$$k=\frac{-24±\sqrt{256}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 256.

$$k=\frac{-24±16}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση k=\frac{-24±16}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -24 και το 16.

$$k=-\frac{8}{2}$$

Διαιρέστε το -8 με το 2.

$$k=-4$$

Λύστε τώρα την εξίσωση k=\frac{-24±16}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 16 από -24.

$$k=-\frac{40}{2}$$

Διαιρέστε το -40 με το 2.

$$k=-20$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$k=-4 k=-20$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(-12-k\right)^{2}.

$$144+24k+k^{2}-4\times 4\times 4=0$$

Πολλαπλασιάστε 4 και 4 για να λάβετε 16.

$$144+24k+k^{2}-16\times 4=0$$

Πολλαπλασιάστε 16 και 4 για να λάβετε 64.

$$144+24k+k^{2}-64=0$$

Αφαιρέστε 64 από 144 για να λάβετε 80.

$$80+24k+k^{2}=0$$

Αφαιρέστε 80 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$24k+k^{2}=-80$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$k^{2}+24k=-80$$

Διαιρέστε το 24, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 12. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 12 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$k^{2}+24k+12^{2}=-80+12^{2}$$

Υψώστε το 12 στο τετράγωνο.

$$k^{2}+24k+144=-80+144$$

Προσθέστε το -80 και το 144.

$$k^{2}+24k+144=64$$

Παραγοντοποιήστε το k^{2}+24k+144. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+12\right)^{2}=64$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(k+12\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Απλοποιήστε.

$$k+12=8 k+12=-8$$

Αφαιρέστε 12 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$k=-4 k=-20$$