Επίλυση z^2-25*10^-12z+16*10^-12=0

$${ z }^{ 2 } -25 \times { 10 }^{ -12 } z+16 \times { 10 }^{ -12 } = 0$$

Λύση ως προς z

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{80000000000}\approx 1,25 \cdot 10^{-11}+0,000004i$$

$$z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{80000000000}\approx 1,25 \cdot 10^{-11}-0,000004i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{62500000000}=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -\frac{1}{40000000000} και το c με \frac{1}{62500000000} στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\sqrt{\left(-\frac{1}{40000000000}\right)^{2}-4\times \frac{1}{62500000000}}}{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{40000000000} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\sqrt{\frac{1}{1600000000000000000000}-4\times \frac{1}{62500000000}}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί \frac{1}{62500000000}.

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\sqrt{\frac{1}{1600000000000000000000}-\frac{1}{15625000000}}}{2}$$

Προσθέστε το \frac{1}{1600000000000000000000} και το -\frac{1}{15625000000} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\sqrt{-\frac{102399999999}{1600000000000000000000}}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -\frac{102399999999}{1600000000000000000000}.

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\frac{\sqrt{102399999999}i}{40000000000}}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -\frac{1}{40000000000} είναι \frac{1}{40000000000}.

$$z=\frac{\frac{1}{40000000000}±\frac{\sqrt{102399999999}i}{40000000000}}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{\frac{1}{40000000000}±\frac{\sqrt{102399999999}i}{40000000000}}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το \frac{1}{40000000000} και το \frac{i\sqrt{102399999999}}{40000000000}.

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{2\times 40000000000}$$

Διαιρέστε το \frac{1+i\sqrt{102399999999}}{40000000000} με το 2.

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{80000000000}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{\frac{1}{40000000000}±\frac{\sqrt{102399999999}i}{40000000000}}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε \frac{i\sqrt{102399999999}}{40000000000} από \frac{1}{40000000000}.

$$z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{2\times 40000000000}$$

Διαιρέστε το \frac{1-i\sqrt{102399999999}}{40000000000} με το 2.

$$z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{80000000000}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{80000000000} z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{80000000000}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{62500000000}=0$$

Αφαιρέστε \frac{1}{62500000000} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{62500000000}-\frac{1}{62500000000}=-\frac{1}{62500000000}$$

Η αφαίρεση του \frac{1}{62500000000} από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z=-\frac{1}{62500000000}$$

Διαιρέστε το -\frac{1}{40000000000}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{80000000000}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{80000000000} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\left(-\frac{1}{80000000000}\right)^{2}=-\frac{1}{62500000000}+\left(-\frac{1}{80000000000}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{80000000000} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{6400000000000000000000}=-\frac{1}{62500000000}+\frac{1}{6400000000000000000000}$$

Προσθέστε το -\frac{1}{62500000000} και το \frac{1}{6400000000000000000000} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{6400000000000000000000}=-\frac{102399999999}{6400000000000000000000}$$

Παραγον z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{6400000000000000000000}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{80000000000}\right)^{2}=-\frac{102399999999}{6400000000000000000000}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{80000000000}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{102399999999}{6400000000000000000000}}$$

Απλοποιήστε.

$$z-\frac{1}{80000000000}=\frac{\sqrt{102399999999}i}{80000000000} z-\frac{1}{80000000000}=-\frac{\sqrt{102399999999}i}{80000000000}$$

Προσθέστε \frac{1}{80000000000} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{80000000000} z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{80000000000}$$