Επίλυση z^2+27=10z

$${ z }^{ 2 } +27 = 10z$$

Λύση ως προς z

$$z=5+\sqrt{2}i\approx 5+1,414213562i$$

$$z=-\sqrt{2}i+5\approx 5-1,414213562i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Αφαιρέστε 10z και από τις δύο πλευρές.

$$z^{2}+27-10z=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$z^{2}-10z+27=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -10 και το c με 27 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 27}}{2}$$

Υψώστε το -10 στο τετράγωνο.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 27}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 27.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-108}}{2}$$

Προσθέστε το 100 και το -108.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-8}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -8.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{2}i}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -10 είναι 10.

$$z=\frac{10±2\sqrt{2}i}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{10±2\sqrt{2}i}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 10 και το 2i\sqrt{2}.

$$z=\frac{10+2\sqrt{2}i}{2}$$

Διαιρέστε το 10+2i\sqrt{2} με το 2.

$$z=5+\sqrt{2}i$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{10±2\sqrt{2}i}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2i\sqrt{2} από 10.

$$z=\frac{-2\sqrt{2}i+10}{2}$$

Διαιρέστε το 10-2i\sqrt{2} με το 2.

$$z=-\sqrt{2}i+5$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$z=5+\sqrt{2}i z=-\sqrt{2}i+5$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Αφαιρέστε 10z και από τις δύο πλευρές.

$$z^{2}+27-10z=0$$

Αφαιρέστε 27 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$z^{2}-10z=-27$$

Διαιρέστε το -10, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -5. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -5 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$z^{2}-10z+\left(-5\right)^{2}=-27+\left(-5\right)^{2}$$

Υψώστε το -5 στο τετράγωνο.

$$z^{2}-10z+25=-27+25$$

Προσθέστε το -27 και το 25.

$$z^{2}-10z+25=-2$$

Παραγον z^{2}-10z+25. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-5\right)^{2}=-2$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(z-5\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Απλοποιήστε.

$$z-5=\sqrt{2}i z-5=-\sqrt{2}i$$

Προσθέστε 5 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$z=5+\sqrt{2}i z=-\sqrt{2}i+5$$