Επίλυση y^2-15y=-54

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

Λύση ως προς y

$$y=6$$

$$y=9$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Προσθήκη 54 και στις δύο πλευρές.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε y^{2}-15y+54 χρησιμοποιώντας τον τύπο y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-15 ab=54$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -15.

$$a=-9 b=-6$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(y+a\right)\left(y+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε y-9=0 και y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Προσθήκη 54 και στις δύο πλευρές.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως y^{2}+ay+by+54. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -15.

$$a=-9 b=-6$$

Γράψτε πάλι το y^{2}-15y+54 ως \left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right).

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

Παραγοντοποιήστε y στο πρώτο και στο -6 της δεύτερης ομάδας.

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο y-9 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε y-9=0 και y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$y^{2}-15y=-54$$

Προσθέστε 54 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

Η αφαίρεση του -54 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

Αφαιρέστε -54 από 0.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -15 και το c με 54 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

Υψώστε το -15 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 54.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

Προσθέστε το 225 και το -216.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 9.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -15 είναι 15.

$$y=\frac{15±3}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{15±3}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 15 και το 3.

$$y=\frac{18}{2}$$

Διαιρέστε το 18 με το 2.

$$y=9$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{15±3}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 3 από 15.

$$y=\frac{12}{2}$$

Διαιρέστε το 12 με το 2.

$$y=6$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$y=9 y=6$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-15y=-54$$

Διαιρέστε το -15, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{15}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{15}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{15}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

Προσθέστε το -54 και το \frac{225}{4}.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

Παραγον y^{2}-15y+\frac{225}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

Προσθέστε \frac{15}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y=9 y=6$$