Επίλυση x^5+3x^4=x+3

$${ x }^{ 5 } +3 { x }^{ 4 } =x+3$$

Λύση ως προς x

$$x=-3$$

$$x=1$$

$$x=-1$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε x και από τις δύο πλευρές.

$$x^{5}+3x^{4}-x=3$$

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{5}+3x^{4}-x-3=0$$

Από το θεώρημα της ορθοΛογικής ρίζας, όλες οι ορθολογικές ρίζες ενός πολυωνύμου είναι στη μορφή \frac{p}{q}, όπου p διαιρεί τον σταθερό όρο -3 και q διαιρεί τον κορυφαίο συντελεστή 1. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±3,±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$x=1$$

Κατά θεώρημα Factor, x-k είναι ένας παράγοντας του πολυωνύμου για κάθε ριζική k. Διαιρέστε το x^{5}+3x^{4}-x-3 με το x-1 για να λάβετε x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+4x+3. Λύστε την εξίσωση όπου το αποτέλεσμα ισούται με 0.

$$x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+4x+3=0$$

Από το θεώρημα της ορθοΛογικής ρίζας, όλες οι ορθολογικές ρίζες ενός πολυωνύμου είναι στη μορφή \frac{p}{q}, όπου p διαιρεί τον σταθερό όρο 3 και q διαιρεί τον κορυφαίο συντελεστή 1. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±3,±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$x=-1$$

Κατά θεώρημα Factor, x-k είναι ένας παράγοντας του πολυωνύμου για κάθε ριζική k. Διαιρέστε το x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+4x+3 με το x+1 για να λάβετε x^{3}+3x^{2}+x+3. Λύστε την εξίσωση όπου το αποτέλεσμα ισούται με 0.

$$x^{3}+3x^{2}+x+3=0$$

Από το θεώρημα της ορθοΛογικής ρίζας, όλες οι ορθολογικές ρίζες ενός πολυωνύμου είναι στη μορφή \frac{p}{q}, όπου p διαιρεί τον σταθερό όρο 3 και q διαιρεί τον κορυφαίο συντελεστή 1. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±3,±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$x=-3$$

Κατά θεώρημα Factor, x-k είναι ένας παράγοντας του πολυωνύμου για κάθε ριζική k. Διαιρέστε το x^{3}+3x^{2}+x+3 με το x+3 για να λάβετε x^{2}+1. Λύστε την εξίσωση όπου το αποτέλεσμα ισούται με 0.

$$x^{2}+1=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 1 για a, 0 για b και 1 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$x=\frac{0±\sqrt{-4}}{2}$$

Δεδομένου ότι η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού δεν ορίζεται σε πραγματικό πεδίο, δεν υπάρχουν λύσεις.

$$x\in \emptyset$$

Λίστα όλων των λύσεων που βρέθηκαν.

$$x=1 x=-1 x=-3$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=-1$$

$$x=1$$

$$x=-i$$

$$x=i$$

$$x=-3$$