Επίλυση x^3-3x^2-68x+280=0

$${ x }^{ 3 } -3 { x }^{ 2 } -68x+280=0$$

Λύση ως προς x

$$x=2\sqrt{11}-2\approx 4,633249581$$

$$x=-2\sqrt{11}-2\approx -8,633249581$$

$$x=7$$

Βήματα λύσης

Από τη ρητών ρίζας θεώρημα, όλες οι ρητών ρίζες ενός πολυωνύμου βρίσκονται στη \frac{p}{q} φόρμας, όπου p διαιρείται τη σταθερή 280 όρων και q διαιρείται τον αρχικό συντελεστή 1. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±280,±140,±70,±56,±40,±35,±28,±20,±14,±10,±8,±7,±5,±4,±2,±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$x=7$$

Κατά παράγοντα θεώρημα, x-k είναι ένας συντελεστής του πολυωνύμου για κάθε ριζικό k. Διαιρέστε το x^{3}-3x^{2}-68x+280 με το x-7 για να λάβετε x^{2}+4x-40. Επίλυση της εξίσωσης όπου το αποτέλεσμα είναι ίσο με 0.

$$x^{2}+4x-40=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 1 για a, 4 για b και -40 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\left(-40\right)}}{2}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{11}}{2}$$

Επιλύστε την εξίσωση x^{2}+4x-40=0 όταν το ± είναι συν και όταν ± είναι μείον.

$$x=-2\sqrt{11}-2 x=2\sqrt{11}-2$$

Λίστα όλων των λύσεων που βρέθηκαν.

$$x=7 x=-2\sqrt{11}-2 x=2\sqrt{11}-2$$