Επίλυση x^2-x-2=0

$${ x }^{ 2 } -x-2 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-1$$

$$x=2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για την επίλυση της εξίσωσης, παραγοντοποιήστε την παράσταση x^{2}-x-2 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-1 ab=-2$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=-2 b=1$$

Η επανεγγραφή της παράστασης παραγοντοποιήθηκε \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που λήφθηκαν.

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-2=0 και x+1=0.

$$x=2 x=-1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=-2 b=1$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-x-2 ως \left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην εξίσωση x^{2}-2x.

$$x\left(x-2\right)+x-2$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-2=0 και x+1=0.

$$x=2 x=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}-x-2=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -1 και το c με -2 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-2\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+8}}{2}$$

Προσθέστε το 1 και το 8.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 9.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±3}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -1 είναι 1.

$$x=\frac{1±3}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±3}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 1 και το 3.

$$x=\frac{4}{2}$$

Διαιρέστε το 4 με το 2.

$$x=2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±3}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 3 από 1.

$$x=-\frac{2}{2}$$

Διαιρέστε το -2 με το 2.

$$x=-1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=2 x=-1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x-2=0$$

Προσθέστε 2 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}-x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Η αφαίρεση του -2 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}-x=-\left(-2\right)$$

Αφαιρέστε -2 από 0.

$$x^{2}-x=2$$

Διαιρέστε το -1, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Προσθέστε το 2 και το \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-x+\frac{1}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Προσθέστε \frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=2 x=-1$$