Επίλυση x^2-6x=16

$${ x }^{ 2 } -6x=16$$

Λύση ως προς x

$$x=-2$$

$$x=8$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Αφαιρέστε 16 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-6x-16=0$$

Για την επίλυση της εξίσωσης, παραγοντοποιήστε την παράσταση x^{2}-6x-16 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-6 ab=-16$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -16.

$$1,-16 2,-8 4,-4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-16=-15 2-8=-6 4-4=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -6.

$$a=-8 b=2$$

Η επανεγγραφή της παράστασης παραγοντοποιήθηκε \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που λήφθηκαν.

$$\left(x-8\right)\left(x+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-8=0 και x+2=0.

$$x=8 x=-2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 16 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-6x-16=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-16. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-6 ab=1\left(-16\right)=-16$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -16.

$$1,-16 2,-8 4,-4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-16=-15 2-8=-6 4-4=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -6.

$$a=-8 b=2$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-6x-16 ως \left(x^{2}-8x\right)+\left(2x-16\right).

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(2x-16\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην πρώτη και το 2 στη δεύτερη ομάδα.

$$x\left(x-8\right)+2\left(x-8\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-8 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-8\right)\left(x+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-8=0 και x+2=0.

$$x=8 x=-2$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}-6x=16$$

Αφαιρέστε 16 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}-6x-16=16-16$$

Η αφαίρεση του 16 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}-6x-16=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -6 και το c με -16 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\left(-16\right)}}{2}$$

Υψώστε το -6 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\left(-16\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -16.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+64}}{2}$$

Προσθέστε το 36 και το 64.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{100}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 100.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±10}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -6 είναι 6.

$$x=\frac{6±10}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{6±10}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 6 και το 10.

$$x=\frac{16}{2}$$

Διαιρέστε το 16 με το 2.

$$x=8$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{6±10}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 10 από 6.

$$x=-\frac{4}{2}$$

Διαιρέστε το -4 με το 2.

$$x=-2$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=8 x=-2$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-6x=16$$

Διαιρέστε το -6, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -3. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -3 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=16+\left(-3\right)^{2}$$

Υψώστε το -3 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-6x+9=16+9$$

Προσθέστε το 16 και το 9.

$$x^{2}-6x+9=25$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-6x+9. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=25$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Απλοποιήστε.

$$x-3=5 x-3=-5$$

Προσθέστε 3 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=8 x=-2$$