Επίλυση x^2-6x+11=0

$${ x }^{ 2 } -6x+11 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=3+\sqrt{2}i\approx 3+1.414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i+3\approx 3-1.414213562i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}-6x+11=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -6 και το c με 11 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 11}}{2}$$

Υψώστε το -6 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 11}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 11.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-44}}{2}$$

Προσθέστε το 36 και το -44.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-8}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -8.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{2}i}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -6 είναι 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 6 και το 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{6+2\sqrt{2}i}{2}$$

Διαιρέστε το 6+2i\sqrt{2} με το 2.

$$x=3+\sqrt{2}i$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2i\sqrt{2} από 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+6}{2}$$

Διαιρέστε το 6-2i\sqrt{2} με το 2.

$$x=-\sqrt{2}i+3$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-6x+11=0$$

Αφαιρέστε 11 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}-6x+11-11=-11$$

Η αφαίρεση του 11 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}-6x=-11$$

Διαιρέστε το -6, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -3. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -3 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-11+\left(-3\right)^{2}$$

Υψώστε το -3 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-6x+9=-11+9$$

Προσθέστε το -11 και το 9.

$$x^{2}-6x+9=-2$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-6x+9. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=-2$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Απλοποιήστε.

$$x-3=\sqrt{2}i x-3=-\sqrt{2}i$$

Προσθέστε 3 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$