Επίλυση x^2-4x+1=0

$${ x }^{ 2 } -4x+1=0$$

Λύση ως προς x

$$x=\sqrt{3}+2\approx 3,732050808$$

$$x=2-\sqrt{3}\approx 0,267949192$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}-4x+1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -4 και το c με 1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4}}{2}$$

Υψώστε το -4 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4}}{2}$$

Προσθέστε το 16 και το -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 12.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -4 είναι 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 4 και το 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+4}{2}$$

Διαιρέστε το 4+2\sqrt{3} με το 2.

$$x=\sqrt{3}+2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2\sqrt{3} από 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}$$

Διαιρέστε το 4-2\sqrt{3} με το 2.

$$x=2-\sqrt{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\sqrt{3}+2 x=2-\sqrt{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-4x+1=0$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}-4x+1-1=-1$$

Η αφαίρεση του 1 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}-4x=-1$$

Διαιρέστε το -4, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -2. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -2 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-1+\left(-2\right)^{2}$$

Υψώστε το -2 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-4x+4=-1+4$$

Προσθέστε το -1 και το 4.

$$x^{2}-4x+4=3$$

Παραγον x^{2}-4x+4. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=3$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

Απλοποιήστε.

$$x-2=\sqrt{3} x-2=-\sqrt{3}$$

Προσθέστε 2 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\sqrt{3}+2 x=2-\sqrt{3}$$