Επίλυση x^2-22x-23=0

$${ x }^{ 2 } -22x-23=0$$

Λύση ως προς x

$$x=-1$$

$$x=23$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}-22x-23 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-22 ab=-23$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=-23 b=1$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-23\right)\left(x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-23=0 και x+1=0.

$$x=23 x=-1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-23. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-22 ab=1\left(-23\right)=-23$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=-23 b=1$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-22x-23 ως \left(x^{2}-23x\right)+\left(x-23\right).

$$\left(x^{2}-23x\right)+\left(x-23\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην εξίσωση x^{2}-23x.

$$x\left(x-23\right)+x-23$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-23 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-23\right)\left(x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-23=0 και x+1=0.

$$x=23 x=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}-22x-23=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -22 και το c με -23 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\left(-23\right)}}{2}$$

Υψώστε το -22 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\left(-23\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -23.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484+92}}{2}$$

Προσθέστε το 484 και το 92.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{576}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 576.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±24}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -22 είναι 22.

$$x=\frac{22±24}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{22±24}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 22 και το 24.

$$x=\frac{46}{2}$$

Διαιρέστε το 46 με το 2.

$$x=23$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{22±24}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 24 από 22.

$$x=-\frac{2}{2}$$

Διαιρέστε το -2 με το 2.

$$x=-1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=23 x=-1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-22x-23=0$$

Προσθέστε 23 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}-22x-23-\left(-23\right)=-\left(-23\right)$$

Η αφαίρεση του -23 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}-22x=-\left(-23\right)$$

Αφαιρέστε -23 από 0.

$$x^{2}-22x=23$$

Διαιρέστε το -22, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -11. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -11 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-22x+\left(-11\right)^{2}=23+\left(-11\right)^{2}$$

Υψώστε το -11 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-22x+121=23+121$$

Προσθέστε το 23 και το 121.

$$x^{2}-22x+121=144$$

Παραγον x^{2}-22x+121. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-11\right)^{2}=144$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-11\right)^{2}}=\sqrt{144}$$

Απλοποιήστε.

$$x-11=12 x-11=-12$$

Προσθέστε 11 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=23 x=-1$$