Επίλυση x^2-21x+104=0

$${ x }^{ 2 } -21x+104=0$$

Λύση ως προς x

$$x=8$$

$$x=13$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για την επίλυση της εξίσωσης, παραγοντοποιήστε την παράσταση x^{2}-21x+104 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-21 ab=104$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι αρνητική, a και b είναι και τα δύο αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 104.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -21.

$$a=-13 b=-8$$

Η επανεγγραφή της παράστασης παραγοντοποιήθηκε \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που λήφθηκαν.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-13=0 και x-8=0.

$$x=13 x=8$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+104. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-21 ab=1\times 104=104$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι αρνητική, a και b είναι και τα δύο αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 104.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -21.

$$a=-13 b=-8$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-21x+104 ως \left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right).

$$\left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην πρώτη και το -8 στη δεύτερη ομάδα.

$$x\left(x-13\right)-8\left(x-13\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-13 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-13=0 και x-8=0.

$$x=13 x=8$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}-21x+104=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -21 και το c με 104 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 104}}{2}$$

Υψώστε το -21 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 104}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 104.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-416}}{2}$$

Προσθέστε το 441 και το -416.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{25}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 25.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±5}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -21 είναι 21.

$$x=\frac{21±5}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{21±5}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 21 και το 5.

$$x=\frac{26}{2}$$

Διαιρέστε το 26 με το 2.

$$x=13$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{21±5}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 5 από 21.

$$x=\frac{16}{2}$$

Διαιρέστε το 16 με το 2.

$$x=8$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=13 x=8$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-21x+104=0$$

Αφαιρέστε 104 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}-21x+104-104=-104$$

Η αφαίρεση του 104 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}-21x=-104$$

Διαιρέστε το -21, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{21}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{21}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-21x+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-104+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{21}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=-104+\frac{441}{4}$$

Προσθέστε το -104 και το \frac{441}{4}.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=\frac{25}{4}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-21x+\frac{441}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{21}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{21}{2}=-\frac{5}{2}$$

Προσθέστε \frac{21}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=13 x=8$$