Επίλυση x^2-18x+7x-126=0

$${ x }^{ 2 } -18x+7x-126=0$$

Λύση ως προς x

$$x=-7$$

$$x=18$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Συνδυάστε το -18x και το 7x για να λάβετε -11x.

$$x^{2}-11x-126=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}-11x-126 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-11 ab=-126$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -126.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -11.

$$a=-18 b=7$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-18\right)\left(x+7\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-18=0 και x+7=0.

$$x=18 x=-7$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Συνδυάστε το -18x και το 7x για να λάβετε -11x.

$$x^{2}-11x-126=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-126. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-11 ab=1\left(-126\right)=-126$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -126.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -11.

$$a=-18 b=7$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-11x-126 ως \left(x^{2}-18x\right)+\left(7x-126\right).

$$\left(x^{2}-18x\right)+\left(7x-126\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 7 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-18\right)+7\left(x-18\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-18 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-18\right)\left(x+7\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-18=0 και x+7=0.

$$x=18 x=-7$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Συνδυάστε το -18x και το 7x για να λάβετε -11x.

$$x^{2}-11x-126=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -11 και το c με -126 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-126\right)}}{2}$$

Υψώστε το -11 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-126\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -126.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+504}}{2}$$

Προσθέστε το 121 και το 504.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{625}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 625.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±25}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -11 είναι 11.

$$x=\frac{11±25}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{11±25}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 11 και το 25.

$$x=\frac{36}{2}$$

Διαιρέστε το 36 με το 2.

$$x=18$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{11±25}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 25 από 11.

$$x=-\frac{14}{2}$$

Διαιρέστε το -14 με το 2.

$$x=-7$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=18 x=-7$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Συνδυάστε το -18x και το 7x για να λάβετε -11x.

$$x^{2}-11x-126=0$$

Προσθήκη 126 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$x^{2}-11x=126$$

Διαιρέστε το -11, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{11}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{11}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=126+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{11}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=126+\frac{121}{4}$$

Προσθέστε το 126 και το \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{625}{4}$$

Παραγον x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{625}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{25}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{25}{2}$$

Προσθέστε \frac{11}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=18 x=-7$$