Επίλυση x^2-14x=-48

$${ x }^{ 2 } -14x=-48$$

Λύση ως προς x

$$x=6$$

$$x=8$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Προσθήκη 48 και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}-14x+48=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}-14x+48 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-14 ab=48$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -14.

$$a=-8 b=-6$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-8\right)\left(x-6\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-8=0 και x-6=0.

$$x=8 x=6$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Προσθήκη 48 και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}-14x+48=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+48. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-14 ab=1\times 48=48$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -14.

$$a=-8 b=-6$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-14x+48 ως \left(x^{2}-8x\right)+\left(-6x+48\right).

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(-6x+48\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο -6 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-8\right)-6\left(x-8\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-8 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-8\right)\left(x-6\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-8=0 και x-6=0.

$$x=8 x=6$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}-14x=-48$$

Προσθέστε 48 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}-14x-\left(-48\right)=-48-\left(-48\right)$$

Η αφαίρεση του -48 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}-14x-\left(-48\right)=0$$

Αφαιρέστε -48 από 0.

$$x^{2}-14x+48=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -14 και το c με 48 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 48}}{2}$$

Υψώστε το -14 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 48}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 48.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-192}}{2}$$

Προσθέστε το 196 και το -192.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{4}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 4.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -14 είναι 14.

$$x=\frac{14±2}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{14±2}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 14 και το 2.

$$x=\frac{16}{2}$$

Διαιρέστε το 16 με το 2.

$$x=8$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{14±2}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2 από 14.

$$x=\frac{12}{2}$$

Διαιρέστε το 12 με το 2.

$$x=6$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=8 x=6$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-14x=-48$$

Διαιρέστε το -14, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -7. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -7 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-48+\left(-7\right)^{2}$$

Υψώστε το -7 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-14x+49=-48+49$$

Προσθέστε το -48 και το 49.

$$x^{2}-14x+49=1$$

Παραγον x^{2}-14x+49. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=1$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Απλοποιήστε.

$$x-7=1 x-7=-1$$

Προσθέστε 7 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=8 x=6$$