Επίλυση x^2-12x+32=0

$${ x }^{ 2 } -12x+32=0$$

Λύση ως προς x

$$x=4$$

$$x=8$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}-12x+32 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-12 ab=32$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 32.

$$-1,-32 -2,-16 -4,-8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-32=-33 -2-16=-18 -4-8=-12$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -12.

$$a=-8 b=-4$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-8\right)\left(x-4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-8=0 και x-4=0.

$$x=8 x=4$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+32. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-12 ab=1\times 32=32$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 32.

$$-1,-32 -2,-16 -4,-8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-32=-33 -2-16=-18 -4-8=-12$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -12.

$$a=-8 b=-4$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-12x+32 ως \left(x^{2}-8x\right)+\left(-4x+32\right).

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(-4x+32\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο -4 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-8\right)-4\left(x-8\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-8 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-8\right)\left(x-4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-8=0 και x-4=0.

$$x=8 x=4$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}-12x+32=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -12 και το c με 32 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 32}}{2}$$

Υψώστε το -12 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 32}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 32.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-128}}{2}$$

Προσθέστε το 144 και το -128.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{16}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 16.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -12 είναι 12.

$$x=\frac{12±4}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{12±4}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 12 και το 4.

$$x=\frac{16}{2}$$

Διαιρέστε το 16 με το 2.

$$x=8$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{12±4}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4 από 12.

$$x=\frac{8}{2}$$

Διαιρέστε το 8 με το 2.

$$x=4$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=8 x=4$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-12x+32=0$$

Αφαιρέστε 32 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}-12x+32-32=-32$$

Η αφαίρεση του 32 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}-12x=-32$$

Διαιρέστε το -12, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -6. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -6 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-32+\left(-6\right)^{2}$$

Υψώστε το -6 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-12x+36=-32+36$$

Προσθέστε το -32 και το 36.

$$x^{2}-12x+36=4$$

Παραγον x^{2}-12x+36. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=4$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Απλοποιήστε.

$$x-6=2 x-6=-2$$

Προσθέστε 6 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=8 x=4$$