Επίλυση x^2-10x+21=0

$${ x }^{ 2 } -10x+21=0$$

Λύση ως προς x

$$x=3$$

$$x=7$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}-10x+21 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-10 ab=21$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 21.

$$-1,-21 -3,-7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -10.

$$a=-7 b=-3$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-7\right)\left(x-3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-7=0 και x-3=0.

$$x=7 x=3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+21. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-10 ab=1\times 21=21$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 21.

$$-1,-21 -3,-7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -10.

$$a=-7 b=-3$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-10x+21 ως \left(x^{2}-7x\right)+\left(-3x+21\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-3x+21\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο -3 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-7\right)-3\left(x-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-7\right)\left(x-3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-7=0 και x-3=0.

$$x=7 x=3$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}-10x+21=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -10 και το c με 21 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 21}}{2}$$

Υψώστε το -10 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 21}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 21.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-84}}{2}$$

Προσθέστε το 100 και το -84.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{16}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 16.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±4}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -10 είναι 10.

$$x=\frac{10±4}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{10±4}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 10 και το 4.

$$x=\frac{14}{2}$$

Διαιρέστε το 14 με το 2.

$$x=7$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{10±4}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4 από 10.

$$x=\frac{6}{2}$$

Διαιρέστε το 6 με το 2.

$$x=3$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=7 x=3$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-10x+21=0$$

Αφαιρέστε 21 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}-10x+21-21=-21$$

Η αφαίρεση του 21 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}-10x=-21$$

Διαιρέστε το -10, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -5. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -5 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-21+\left(-5\right)^{2}$$

Υψώστε το -5 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-10x+25=-21+25$$

Προσθέστε το -21 και το 25.

$$x^{2}-10x+25=4$$

Παραγον x^{2}-10x+25. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=4$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Απλοποιήστε.

$$x-5=2 x-5=-2$$

Προσθέστε 5 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=7 x=3$$