Επίλυση x^2-(7+x/2)((7+x/2)+x)=11

$${ x }^{ 2 } -( \frac{ 7+x }{ 2 } )(( \frac{ 7+x }{ 2 } )+x)=11$$

Λύση ως προς x

$$x=-3$$

$$x=31$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 2.

$$2x^{2}-\left(7+x\right)\left(\frac{7+x}{2}+x\right)=22$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 7+x με το \frac{7+x}{2}+x.

$$2x^{2}-\left(7\times \frac{7+x}{2}+7x+x\times \frac{7+x}{2}+x^{2}\right)=22$$

Έκφραση του 7\times \frac{7+x}{2} ως ενιαίου κλάσματος.

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)}{2}+7x+x\times \frac{7+x}{2}+x^{2}\right)=22$$

Έκφραση του x\times \frac{7+x}{2} ως ενιαίου κλάσματος.

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)}{2}+7x+\frac{x\left(7+x\right)}{2}+x^{2}\right)=22$$

Από τη στιγμή που οι αριθμοί \frac{7\left(7+x\right)}{2} και \frac{x\left(7+x\right)}{2} έχουν τον ίδιο παρονομαστή, μπορείτε να τους προσθέσετε προσθέτοντας τους αριθμητές τους.

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)+x\left(7+x\right)}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

Κάντε τους πολλαπλασιασμούς στο 7\left(7+x\right)+x\left(7+x\right).

$$2x^{2}-\left(\frac{49+7x+7x+x^{2}}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

Συνδυάστε παρόμοιους όρους στο 49+7x+7x+x^{2}.

$$2x^{2}-\left(\frac{49+14x+x^{2}}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του \frac{49+14x+x^{2}}{2}+7x+x^{2}, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$2x^{2}-\frac{49+14x+x^{2}}{2}-7x-x^{2}=22$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}-\frac{49+14x+x^{2}}{2}-7x=22$$

Διαιρέστε κάθε όρο του 49+14x+x^{2} με το 2 για να λάβετε \frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2}.

$$x^{2}-\left(\frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2}\right)-7x=22$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του \frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2}, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$x^{2}-\frac{49}{2}-7x-\frac{1}{2}x^{2}-7x=22$$

Συνδυάστε το x^{2} και το -\frac{1}{2}x^{2} για να λάβετε \frac{1}{2}x^{2}.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{49}{2}-7x-7x=22$$

Συνδυάστε το -7x και το -7x για να λάβετε -14x.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{49}{2}-14x=22$$

Αφαιρέστε 22 και από τις δύο πλευρές.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{49}{2}-14x-22=0$$

Αφαιρέστε 22 από -\frac{49}{2} για να λάβετε -\frac{93}{2}.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{93}{2}-14x=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$\frac{1}{2}x^{2}-14x-\frac{93}{2}=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με \frac{1}{2}, το b με -14 και το c με -\frac{93}{2} στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times \frac{1}{2}\left(-\frac{93}{2}\right)}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Υψώστε το -14 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times \frac{1}{2}\left(-\frac{93}{2}\right)}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί \frac{1}{2}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-2\left(-\frac{93}{2}\right)}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Πολλαπλασιάστε το -2 επί -\frac{93}{2}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+93}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Προσθέστε το 196 και το 93.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{289}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 289.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±17}{2\times \frac{1}{2}}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -14 είναι 14.

$$x=\frac{14±17}{2\times \frac{1}{2}}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί \frac{1}{2}.

$$x=\frac{14±17}{1}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{14±17}{1} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 14 και το 17.

$$x=\frac{31}{1}$$

Διαιρέστε το 31 με το 1.

$$x=31$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{14±17}{1} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 17 από 14.

$$x=-\frac{3}{1}$$

Διαιρέστε το -3 με το 1.

$$x=-3$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=31 x=-3$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 2.

$$2x^{2}-\left(7+x\right)\left(\frac{7+x}{2}+x\right)=22$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 7+x με το \frac{7+x}{2}+x.

$$2x^{2}-\left(7\times \frac{7+x}{2}+7x+x\times \frac{7+x}{2}+x^{2}\right)=22$$

Έκφραση του 7\times \frac{7+x}{2} ως ενιαίου κλάσματος.

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)}{2}+7x+x\times \frac{7+x}{2}+x^{2}\right)=22$$

Έκφραση του x\times \frac{7+x}{2} ως ενιαίου κλάσματος.

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)}{2}+7x+\frac{x\left(7+x\right)}{2}+x^{2}\right)=22$$

Από τη στιγμή που οι αριθμοί \frac{7\left(7+x\right)}{2} και \frac{x\left(7+x\right)}{2} έχουν τον ίδιο παρονομαστή, μπορείτε να τους προσθέσετε προσθέτοντας τους αριθμητές τους.

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)+x\left(7+x\right)}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

Κάντε τους πολλαπλασιασμούς στο 7\left(7+x\right)+x\left(7+x\right).

$$2x^{2}-\left(\frac{49+7x+7x+x^{2}}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

Συνδυάστε παρόμοιους όρους στο 49+7x+7x+x^{2}.

$$2x^{2}-\left(\frac{49+14x+x^{2}}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του \frac{49+14x+x^{2}}{2}+7x+x^{2}, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$2x^{2}-\frac{49+14x+x^{2}}{2}-7x-x^{2}=22$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}-\frac{49+14x+x^{2}}{2}-7x=22$$

Διαιρέστε κάθε όρο του 49+14x+x^{2} με το 2 για να λάβετε \frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2}.

$$x^{2}-\left(\frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2}\right)-7x=22$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του \frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2}, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$x^{2}-\frac{49}{2}-7x-\frac{1}{2}x^{2}-7x=22$$

Συνδυάστε το x^{2} και το -\frac{1}{2}x^{2} για να λάβετε \frac{1}{2}x^{2}.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{49}{2}-7x-7x=22$$

Συνδυάστε το -7x και το -7x για να λάβετε -14x.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{49}{2}-14x=22$$

Προσθήκη \frac{49}{2} και στις δύο πλευρές.

$$\frac{1}{2}x^{2}-14x=22+\frac{49}{2}$$

Προσθέστε 22 και \frac{49}{2} για να λάβετε \frac{93}{2}.

$$\frac{1}{2}x^{2}-14x=\frac{93}{2}$$

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{\frac{1}{2}x^{2}-14x}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{93}{2}}{\frac{1}{2}}$$

Η διαίρεση με το \frac{1}{2} αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το \frac{1}{2}.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{\frac{1}{2}}\right)x=\frac{\frac{93}{2}}{\frac{1}{2}}$$

Διαιρέστε το -14 με το \frac{1}{2}, πολλαπλασιάζοντας το -14 με τον αντίστροφο του \frac{1}{2}.

$$x^{2}-28x=\frac{\frac{93}{2}}{\frac{1}{2}}$$

Διαιρέστε το \frac{93}{2} με το \frac{1}{2}, πολλαπλασιάζοντας το \frac{93}{2} με τον αντίστροφο του \frac{1}{2}.

$$x^{2}-28x=93$$

Διαιρέστε το -28, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -14. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -14 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-28x+\left(-14\right)^{2}=93+\left(-14\right)^{2}$$

Υψώστε το -14 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-28x+196=93+196$$

Προσθέστε το 93 και το 196.

$$x^{2}-28x+196=289$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-28x+196. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-14\right)^{2}=289$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-14\right)^{2}}=\sqrt{289}$$

Απλοποιήστε.

$$x-14=17 x-14=-17$$

Προσθέστε 14 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=31 x=-3$$