Επίλυση x^2+4x-192=0

$${ x }^{ 2 } +4x-192=0$$

Λύση ως προς x

$$x=-16$$

$$x=12$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}+4x-192 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=4 ab=-192$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -192.

$$-1,192 -2,96 -3,64 -4,48 -6,32 -8,24 -12,16$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+192=191 -2+96=94 -3+64=61 -4+48=44 -6+32=26 -8+24=16 -12+16=4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 4.

$$a=-12 b=16$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-12\right)\left(x+16\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-12=0 και x+16=0.

$$x=12 x=-16$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-192. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=4 ab=1\left(-192\right)=-192$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -192.

$$-1,192 -2,96 -3,64 -4,48 -6,32 -8,24 -12,16$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+192=191 -2+96=94 -3+64=61 -4+48=44 -6+32=26 -8+24=16 -12+16=4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 4.

$$a=-12 b=16$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+4x-192 ως \left(x^{2}-12x\right)+\left(16x-192\right).

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(16x-192\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 16 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-12\right)+16\left(x-12\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-12 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-12\right)\left(x+16\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-12=0 και x+16=0.

$$x=12 x=-16$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}+4x-192=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 4 και το c με -192 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-192\right)}}{2}$$

Υψώστε το 4 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-192\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -192.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+768}}{2}$$

Προσθέστε το 16 και το 768.

$$x=\frac{-4±\sqrt{784}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 784.

$$x=\frac{-4±28}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±28}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -4 και το 28.

$$x=\frac{24}{2}$$

Διαιρέστε το 24 με το 2.

$$x=12$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±28}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 28 από -4.

$$x=-\frac{32}{2}$$

Διαιρέστε το -32 με το 2.

$$x=-16$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=12 x=-16$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+4x-192=0$$

Προσθέστε 192 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}+4x-192-\left(-192\right)=-\left(-192\right)$$

Η αφαίρεση του -192 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}+4x=-\left(-192\right)$$

Αφαιρέστε -192 από 0.

$$x^{2}+4x=192$$

Διαιρέστε το 4, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 2. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 2 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+4x+2^{2}=192+2^{2}$$

Υψώστε το 2 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+4x+4=192+4$$

Προσθέστε το 192 και το 4.

$$x^{2}+4x+4=196$$

Παραγον x^{2}+4x+4. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=196$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{196}$$

Απλοποιήστε.

$$x+2=14 x+2=-14$$

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=12 x=-16$$