Επίλυση x^2+34x+240=0

$${ x }^{ 2 } +34x+240=0$$

Λύση ως προς x

$$x=-24$$

$$x=-10$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}+34x+240 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=34 ab=240$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 240.

$$1,240 2,120 3,80 4,60 5,48 6,40 8,30 10,24 12,20 15,16$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+240=241 2+120=122 3+80=83 4+60=64 5+48=53 6+40=46 8+30=38 10+24=34 12+20=32 15+16=31$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 34.

$$a=10 b=24$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x+10\right)\left(x+24\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x+10=0 και x+24=0.

$$x=-10 x=-24$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+240. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=34 ab=1\times 240=240$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 240.

$$1,240 2,120 3,80 4,60 5,48 6,40 8,30 10,24 12,20 15,16$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+240=241 2+120=122 3+80=83 4+60=64 5+48=53 6+40=46 8+30=38 10+24=34 12+20=32 15+16=31$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 34.

$$a=10 b=24$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+34x+240 ως \left(x^{2}+10x\right)+\left(24x+240\right).

$$\left(x^{2}+10x\right)+\left(24x+240\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 24 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x+10\right)+24\left(x+10\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x+10 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x+10\right)\left(x+24\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x+10=0 και x+24=0.

$$x=-10 x=-24$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}+34x+240=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 34 και το c με 240 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-34±\sqrt{34^{2}-4\times 240}}{2}$$

Υψώστε το 34 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-34±\sqrt{1156-4\times 240}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 240.

$$x=\frac{-34±\sqrt{1156-960}}{2}$$

Προσθέστε το 1156 και το -960.

$$x=\frac{-34±\sqrt{196}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 196.

$$x=\frac{-34±14}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-34±14}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -34 και το 14.

$$x=-\frac{20}{2}$$

Διαιρέστε το -20 με το 2.

$$x=-10$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-34±14}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 14 από -34.

$$x=-\frac{48}{2}$$

Διαιρέστε το -48 με το 2.

$$x=-24$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-10 x=-24$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+34x+240=0$$

Αφαιρέστε 240 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}+34x+240-240=-240$$

Η αφαίρεση του 240 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}+34x=-240$$

Διαιρέστε το 34, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 17. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 17 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+34x+17^{2}=-240+17^{2}$$

Υψώστε το 17 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+34x+289=-240+289$$

Προσθέστε το -240 και το 289.

$$x^{2}+34x+289=49$$

Παραγον x^{2}+34x+289. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+17\right)^{2}=49$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+17\right)^{2}}=\sqrt{49}$$

Απλοποιήστε.

$$x+17=7 x+17=-7$$

Αφαιρέστε 17 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-10 x=-24$$