Επίλυση x^2+25x+100=0

$${ x }^{ 2 } +25x+100=0$$

Λύση ως προς x

$$x=-20$$

$$x=-5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για την επίλυση της εξίσωσης, παραγοντοποιήστε την παράσταση x^{2}+25x+100 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=25 ab=100$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Δεδομένου ότι το a+b είναι θετικό, a και b είναι και τα δύο θετικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 100.

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 25.

$$a=5 b=20$$

Η επανεγγραφή της παράστασης παραγοντοποιήθηκε \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που λήφθηκαν.

$$\left(x+5\right)\left(x+20\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x+5=0 και x+20=0.

$$x=-5 x=-20$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+100. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=25 ab=1\times 100=100$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Δεδομένου ότι το a+b είναι θετικό, a και b είναι και τα δύο θετικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 100.

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 25.

$$a=5 b=20$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+25x+100 ως \left(x^{2}+5x\right)+\left(20x+100\right).

$$\left(x^{2}+5x\right)+\left(20x+100\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην πρώτη και το 20 στη δεύτερη ομάδα.

$$x\left(x+5\right)+20\left(x+5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x+5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x+5\right)\left(x+20\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x+5=0 και x+20=0.

$$x=-5 x=-20$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}+25x+100=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 25 και το c με 100 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 100}}{2}$$

Υψώστε το 25 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 100}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 100.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-400}}{2}$$

Προσθέστε το 625 και το -400.

$$x=\frac{-25±\sqrt{225}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 225.

$$x=\frac{-25±15}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-25±15}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -25 και το 15.

$$x=-\frac{10}{2}$$

Διαιρέστε το -10 με το 2.

$$x=-5$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-25±15}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 15 από -25.

$$x=-\frac{40}{2}$$

Διαιρέστε το -40 με το 2.

$$x=-20$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-5 x=-20$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+25x+100=0$$

Αφαιρέστε 100 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}+25x+100-100=-100$$

Η αφαίρεση του 100 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}+25x=-100$$

Διαιρέστε το 25, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{25}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{25}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+25x+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}=-100+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{25}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=-100+\frac{625}{4}$$

Προσθέστε το -100 και το \frac{625}{4}.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=\frac{225}{4}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}+25x+\frac{625}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{25}{2}=\frac{15}{2} x+\frac{25}{2}=-\frac{15}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{25}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-5 x=-20$$