Επίλυση x^2+16x+60=0

$${ x }^{ 2 } +16x+60=0$$

Λύση ως προς x

$$x=-10$$

$$x=-6$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}+16x+60 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=16 ab=60$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 16.

$$a=6 b=10$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x+6\right)\left(x+10\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x+6=0 και x+10=0.

$$x=-6 x=-10$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+60. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=16 ab=1\times 60=60$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 16.

$$a=6 b=10$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+16x+60 ως \left(x^{2}+6x\right)+\left(10x+60\right).

$$\left(x^{2}+6x\right)+\left(10x+60\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 10 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x+6\right)+10\left(x+6\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x+6 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x+6\right)\left(x+10\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x+6=0 και x+10=0.

$$x=-6 x=-10$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}+16x+60=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 16 και το c με 60 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 60}}{2}$$

Υψώστε το 16 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 60}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 60.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-240}}{2}$$

Προσθέστε το 256 και το -240.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 16.

$$x=\frac{-16±4}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-16±4}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -16 και το 4.

$$x=-\frac{12}{2}$$

Διαιρέστε το -12 με το 2.

$$x=-6$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-16±4}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4 από -16.

$$x=-\frac{20}{2}$$

Διαιρέστε το -20 με το 2.

$$x=-10$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-6 x=-10$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+16x+60=0$$

Αφαιρέστε 60 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}+16x+60-60=-60$$

Η αφαίρεση του 60 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}+16x=-60$$

Διαιρέστε το 16, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 8. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 8 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+16x+8^{2}=-60+8^{2}$$

Υψώστε το 8 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+16x+64=-60+64$$

Προσθέστε το -60 και το 64.

$$x^{2}+16x+64=4$$

Παραγον x^{2}+16x+64. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+8\right)^{2}=4$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+8\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Απλοποιήστε.

$$x+8=2 x+8=-2$$

Αφαιρέστε 8 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-6 x=-10$$