Επίλυση x^2+14x-2352=0

$${ x }^{ 2 } +14x-2352=0$$

Λύση ως προς x

$$x=-56$$

$$x=42$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}+14x-2352 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=14 ab=-2352$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -2352.

$$-1,2352 -2,1176 -3,784 -4,588 -6,392 -7,336 -8,294 -12,196 -14,168 -16,147 -21,112 -24,98 -28,84 -42,56 -48,49$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+2352=2351 -2+1176=1174 -3+784=781 -4+588=584 -6+392=386 -7+336=329 -8+294=286 -12+196=184 -14+168=154 -16+147=131 -21+112=91 -24+98=74 -28+84=56 -42+56=14 -48+49=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 14.

$$a=-42 b=56$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-42\right)\left(x+56\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-42=0 και x+56=0.

$$x=42 x=-56$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-2352. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=14 ab=1\left(-2352\right)=-2352$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -2352.

$$-1,2352 -2,1176 -3,784 -4,588 -6,392 -7,336 -8,294 -12,196 -14,168 -16,147 -21,112 -24,98 -28,84 -42,56 -48,49$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+2352=2351 -2+1176=1174 -3+784=781 -4+588=584 -6+392=386 -7+336=329 -8+294=286 -12+196=184 -14+168=154 -16+147=131 -21+112=91 -24+98=74 -28+84=56 -42+56=14 -48+49=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 14.

$$a=-42 b=56$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+14x-2352 ως \left(x^{2}-42x\right)+\left(56x-2352\right).

$$\left(x^{2}-42x\right)+\left(56x-2352\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 56 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-42\right)+56\left(x-42\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-42 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-42\right)\left(x+56\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-42=0 και x+56=0.

$$x=42 x=-56$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}+14x-2352=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 14 και το c με -2352 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-2352\right)}}{2}$$

Υψώστε το 14 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-2352\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -2352.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+9408}}{2}$$

Προσθέστε το 196 και το 9408.

$$x=\frac{-14±\sqrt{9604}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 9604.

$$x=\frac{-14±98}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-14±98}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -14 και το 98.

$$x=\frac{84}{2}$$

Διαιρέστε το 84 με το 2.

$$x=42$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-14±98}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 98 από -14.

$$x=-\frac{112}{2}$$

Διαιρέστε το -112 με το 2.

$$x=-56$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=42 x=-56$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+14x-2352=0$$

Προσθέστε 2352 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}+14x-2352-\left(-2352\right)=-\left(-2352\right)$$

Η αφαίρεση του -2352 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}+14x=-\left(-2352\right)$$

Αφαιρέστε -2352 από 0.

$$x^{2}+14x=2352$$

Διαιρέστε το 14, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 7. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 7 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+14x+7^{2}=2352+7^{2}$$

Υψώστε το 7 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+14x+49=2352+49$$

Προσθέστε το 2352 και το 49.

$$x^{2}+14x+49=2401$$

Παραγον x^{2}+14x+49. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=2401$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{2401}$$

Απλοποιήστε.

$$x+7=49 x+7=-49$$

Αφαιρέστε 7 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=42 x=-56$$