Επίλυση x^2+12x=640

$${ x }^{ 2 } +12x=640$$

Λύση ως προς x

$$x=-32$$

$$x=20$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Αφαιρέστε 640 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}+12x-640=0$$

Για την επίλυση της εξίσωσης, παραγοντοποιήστε την παράσταση x^{2}+12x-640 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=12 ab=-640$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή η a+b είναι θετική, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από την αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -640.

$$-1,640 -2,320 -4,160 -5,128 -8,80 -10,64 -16,40 -20,32$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+640=639 -2+320=318 -4+160=156 -5+128=123 -8+80=72 -10+64=54 -16+40=24 -20+32=12$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 12.

$$a=-20 b=32$$

Η επανεγγραφή της παράστασης παραγοντοποιήθηκε \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που λήφθηκαν.

$$\left(x-20\right)\left(x+32\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-20=0 και x+32=0.

$$x=20 x=-32$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 640 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}+12x-640=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-640. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=12 ab=1\left(-640\right)=-640$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή η a+b είναι θετική, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από την αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -640.

$$-1,640 -2,320 -4,160 -5,128 -8,80 -10,64 -16,40 -20,32$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+640=639 -2+320=318 -4+160=156 -5+128=123 -8+80=72 -10+64=54 -16+40=24 -20+32=12$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 12.

$$a=-20 b=32$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+12x-640 ως \left(x^{2}-20x\right)+\left(32x-640\right).

$$\left(x^{2}-20x\right)+\left(32x-640\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην πρώτη και το 32 στη δεύτερη ομάδα.

$$x\left(x-20\right)+32\left(x-20\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-20 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-20\right)\left(x+32\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-20=0 και x+32=0.

$$x=20 x=-32$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}+12x=640$$

Αφαιρέστε 640 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}+12x-640=640-640$$

Η αφαίρεση του 640 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}+12x-640=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 12 και το c με -640 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-640\right)}}{2}$$

Υψώστε το 12 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-640\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -640.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+2560}}{2}$$

Προσθέστε το 144 και το 2560.

$$x=\frac{-12±\sqrt{2704}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 2704.

$$x=\frac{-12±52}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-12±52}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -12 και το 52.

$$x=\frac{40}{2}$$

Διαιρέστε το 40 με το 2.

$$x=20$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-12±52}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 52 από -12.

$$x=-\frac{64}{2}$$

Διαιρέστε το -64 με το 2.

$$x=-32$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=20 x=-32$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+12x=640$$

Διαιρέστε το 12, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 6. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 6 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+12x+6^{2}=640+6^{2}$$

Υψώστε το 6 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+12x+36=640+36$$

Προσθέστε το 640 και το 36.

$$x^{2}+12x+36=676$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}+12x+36. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=676$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{676}$$

Απλοποιήστε.

$$x+6=26 x+6=-26$$

Αφαιρέστε 6 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=20 x=-32$$