Επίλυση x^2+11x-390=0

$${ x }^{ 2 } +11x-390=0$$

Λύση ως προς x

$$x=-26$$

$$x=15$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}+11x-390 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=11 ab=-390$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -390.

$$-1,390 -2,195 -3,130 -5,78 -6,65 -10,39 -13,30 -15,26$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+390=389 -2+195=193 -3+130=127 -5+78=73 -6+65=59 -10+39=29 -13+30=17 -15+26=11$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 11.

$$a=-15 b=26$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-15\right)\left(x+26\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-15=0 και x+26=0.

$$x=15 x=-26$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-390. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=11 ab=1\left(-390\right)=-390$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -390.

$$-1,390 -2,195 -3,130 -5,78 -6,65 -10,39 -13,30 -15,26$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+390=389 -2+195=193 -3+130=127 -5+78=73 -6+65=59 -10+39=29 -13+30=17 -15+26=11$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 11.

$$a=-15 b=26$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+11x-390 ως \left(x^{2}-15x\right)+\left(26x-390\right).

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(26x-390\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 26 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-15\right)+26\left(x-15\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-15 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-15\right)\left(x+26\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-15=0 και x+26=0.

$$x=15 x=-26$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}+11x-390=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 11 και το c με -390 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-390\right)}}{2}$$

Υψώστε το 11 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-390\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -390.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+1560}}{2}$$

Προσθέστε το 121 και το 1560.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1681}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1681.

$$x=\frac{-11±41}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-11±41}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -11 και το 41.

$$x=\frac{30}{2}$$

Διαιρέστε το 30 με το 2.

$$x=15$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-11±41}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 41 από -11.

$$x=-\frac{52}{2}$$

Διαιρέστε το -52 με το 2.

$$x=-26$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=15 x=-26$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+11x-390=0$$

Προσθέστε 390 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}+11x-390-\left(-390\right)=-\left(-390\right)$$

Η αφαίρεση του -390 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}+11x=-\left(-390\right)$$

Αφαιρέστε -390 από 0.

$$x^{2}+11x=390$$

Διαιρέστε το 11, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{11}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{11}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+11x+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}=390+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{11}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=390+\frac{121}{4}$$

Προσθέστε το 390 και το \frac{121}{4}.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=\frac{1681}{4}$$

Παραγον x^{2}+11x+\frac{121}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{1681}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{11}{2}=\frac{41}{2} x+\frac{11}{2}=-\frac{41}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{11}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=15 x=-26$$