Επίλυση x^2+10x+21=0

$${ x }^{ 2 } +10x+21 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-7$$

$$x=-3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για την επίλυση της εξίσωσης, παραγοντοποιήστε την παράσταση x^{2}+10x+21 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=10 ab=21$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Δεδομένου ότι το a+b είναι θετικό, a και b είναι και τα δύο θετικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 21.

$$1,21 3,7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+21=22 3+7=10$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 10.

$$a=3 b=7$$

Η επανεγγραφή της παράστασης παραγοντοποιήθηκε \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που λήφθηκαν.

$$\left(x+3\right)\left(x+7\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x+3=0 και x+7=0.

$$x=-3 x=-7$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+21. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=10 ab=1\times 21=21$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Δεδομένου ότι το a+b είναι θετικό, a και b είναι και τα δύο θετικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 21.

$$1,21 3,7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+21=22 3+7=10$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 10.

$$a=3 b=7$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+10x+21 ως \left(x^{2}+3x\right)+\left(7x+21\right).

$$\left(x^{2}+3x\right)+\left(7x+21\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην πρώτη και το 7 στη δεύτερη ομάδα.

$$x\left(x+3\right)+7\left(x+3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x+3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x+3\right)\left(x+7\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x+3=0 και x+7=0.

$$x=-3 x=-7$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}+10x+21=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 10 και το c με 21 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 21}}{2}$$

Υψώστε το 10 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 21}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 21.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-84}}{2}$$

Προσθέστε το 100 και το -84.

$$x=\frac{-10±\sqrt{16}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 16.

$$x=\frac{-10±4}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-10±4}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -10 και το 4.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Διαιρέστε το -6 με το 2.

$$x=-3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-10±4}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4 από -10.

$$x=-\frac{14}{2}$$

Διαιρέστε το -14 με το 2.

$$x=-7$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-3 x=-7$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+10x+21=0$$

Αφαιρέστε 21 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x^{2}+10x+21-21=-21$$

Η αφαίρεση του 21 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$x^{2}+10x=-21$$

Διαιρέστε το 10, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 5. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 5 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+10x+5^{2}=-21+5^{2}$$

Υψώστε το 5 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+10x+25=-21+25$$

Προσθέστε το -21 και το 25.

$$x^{2}+10x+25=4$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}+10x+25. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=4$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Απλοποιήστε.

$$x+5=2 x+5=-2$$

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-3 x=-7$$