Επίλυση x^2+left(4+xright)^2-8x-4(4+x)-16=0

$${ x }^{ 2 } + { \left(4+x \right) }^{ 2 } -8x-4(4+x)-16=0$$

Λύση ως προς x

$$x=-2$$

$$x=4$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(4+x\right)^{2}.

$$x^{2}+16+8x+x^{2}-8x-4\left(4+x\right)-16=0$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}+16+8x-8x-4\left(4+x\right)-16=0$$

Συνδυάστε το 8x και το -8x για να λάβετε 0.

$$2x^{2}+16-4\left(4+x\right)-16=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -4 με το 4+x.

$$2x^{2}+16-16-4x-16=0$$

Αφαιρέστε 16 από 16 για να λάβετε 0.

$$2x^{2}-4x-16=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$x^{2}-2x-8=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-8. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-2 ab=1\left(-8\right)=-8$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -8.

$$1,-8 2,-4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-8=-7 2-4=-2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -2.

$$a=-4 b=2$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-2x-8 ως \left(x^{2}-4x\right)+\left(2x-8\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(2x-8\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-4\right)+2\left(x-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-4\right)\left(x+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-4=0 και x+2=0.

$$x=4 x=-2$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(4+x\right)^{2}.

$$x^{2}+16+8x+x^{2}-8x-4\left(4+x\right)-16=0$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}+16+8x-8x-4\left(4+x\right)-16=0$$

Συνδυάστε το 8x και το -8x για να λάβετε 0.

$$2x^{2}+16-4\left(4+x\right)-16=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -4 με το 4+x.

$$2x^{2}+16-16-4x-16=0$$

Αφαιρέστε 16 από 16 για να λάβετε 0.

$$2x^{2}-4x-16=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με -4 και το c με -16 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\left(-16\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το -4 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 2\left(-16\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-8\left(-16\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+128}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 16 και το 128.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{144}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 144.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±12}{2\times 2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -4 είναι 4.

$$x=\frac{4±12}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{4±12}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{4±12}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 4 και το 12.

$$x=\frac{16}{4}$$

Διαιρέστε το 16 με το 4.

$$x=4$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{4±12}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 12 από 4.

$$x=-\frac{8}{4}$$

Διαιρέστε το -8 με το 4.

$$x=-2$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=4 x=-2$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(4+x\right)^{2}.

$$x^{2}+16+8x+x^{2}-8x-4\left(4+x\right)-16=0$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}+16+8x-8x-4\left(4+x\right)-16=0$$

Συνδυάστε το 8x και το -8x για να λάβετε 0.

$$2x^{2}+16-4\left(4+x\right)-16=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -4 με το 4+x.

$$2x^{2}+16-16-4x-16=0$$

Αφαιρέστε 16 από 16 για να λάβετε 0.

$$2x^{2}-4x-16=0$$

Προσθήκη 16 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$2x^{2}-4x=16$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}-4x}{2}=\frac{16}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{2}\right)x=\frac{16}{2}$$

Διαιρέστε το -4 με το 2.

$$x^{2}-2x=\frac{16}{2}$$

Διαιρέστε το 16 με το 2.

$$x^{2}-2x=8$$

Διαιρέστε το -2, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -1. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-2x+1=8+1$$

Προσθέστε το 8 και το 1.

$$x^{2}-2x+1=9$$

Παραγον x^{2}-2x+1. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=9$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Απλοποιήστε.

$$x-1=3 x-1=-3$$

Προσθέστε 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=4 x=-2$$