Επίλυση x^2+left(-3x+10right)^2=20

$${ x }^{ 2 } + { \left(-3x+10 \right) }^{ 2 } =20$$

Λύση ως προς x

$$x=2$$

$$x=4$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(-3x+10\right)^{2}.

$$x^{2}+9x^{2}-60x+100=20$$

Συνδυάστε το x^{2} και το 9x^{2} για να λάβετε 10x^{2}.

$$10x^{2}-60x+100=20$$

Αφαιρέστε 20 και από τις δύο πλευρές.

$$10x^{2}-60x+100-20=0$$

Αφαιρέστε 20 από 100 για να λάβετε 80.

$$10x^{2}-60x+80=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 10.

$$x^{2}-6x+8=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+8. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-6 ab=1\times 8=8$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -6.

$$a=-4 b=-2$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-6x+8 ως \left(x^{2}-4x\right)+\left(-2x+8\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(-2x+8\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο -2 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-4\right)-2\left(x-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-4\right)\left(x-2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-4=0 και x-2=0.

$$x=4 x=2$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(-3x+10\right)^{2}.

$$x^{2}+9x^{2}-60x+100=20$$

Συνδυάστε το x^{2} και το 9x^{2} για να λάβετε 10x^{2}.

$$10x^{2}-60x+100=20$$

Αφαιρέστε 20 και από τις δύο πλευρές.

$$10x^{2}-60x+100-20=0$$

Αφαιρέστε 20 από 100 για να λάβετε 80.

$$10x^{2}-60x+80=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 10, το b με -60 και το c με 80 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{\left(-60\right)^{2}-4\times 10\times 80}}{2\times 10}$$

Υψώστε το -60 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-4\times 10\times 80}}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 10.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-40\times 80}}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το -40 επί 80.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-3200}}{2\times 10}$$

Προσθέστε το 3600 και το -3200.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{400}}{2\times 10}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 400.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±20}{2\times 10}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -60 είναι 60.

$$x=\frac{60±20}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 10.

$$x=\frac{60±20}{20}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{60±20}{20} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 60 και το 20.

$$x=\frac{80}{20}$$

Διαιρέστε το 80 με το 20.

$$x=4$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{60±20}{20} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 20 από 60.

$$x=\frac{40}{20}$$

Διαιρέστε το 40 με το 20.

$$x=2$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=4 x=2$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(-3x+10\right)^{2}.

$$x^{2}+9x^{2}-60x+100=20$$

Συνδυάστε το x^{2} και το 9x^{2} για να λάβετε 10x^{2}.

$$10x^{2}-60x+100=20$$

Αφαιρέστε 100 και από τις δύο πλευρές.

$$10x^{2}-60x=20-100$$

Αφαιρέστε 100 από 20 για να λάβετε -80.

$$10x^{2}-60x=-80$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 10.

$$\frac{10x^{2}-60x}{10}=-\frac{80}{10}$$

Η διαίρεση με το 10 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 10.

$$x^{2}+\left(-\frac{60}{10}\right)x=-\frac{80}{10}$$

Διαιρέστε το -60 με το 10.

$$x^{2}-6x=-\frac{80}{10}$$

Διαιρέστε το -80 με το 10.

$$x^{2}-6x=-8$$

Διαιρέστε το -6, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -3. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -3 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-8+\left(-3\right)^{2}$$

Υψώστε το -3 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-6x+9=-8+9$$

Προσθέστε το -8 και το 9.

$$x^{2}-6x+9=1$$

Παραγον x^{2}-6x+9. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=1$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Απλοποιήστε.

$$x-3=1 x-3=-1$$

Προσθέστε 3 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=4 x=2$$