Επίλυση x^2+{left(sqrt{6}+sqrt{2}-xright)}^2=2

$${ x }^{ 2 } + { \left( \sqrt{ 6 } + \sqrt{ 2 } -x \right) }^{ 2 } =2$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}+2i\sqrt{\sqrt{3}+1}}{2}\approx 1,931851653+1,65289165i$$

$$x=\frac{-2i\sqrt{\sqrt{3}+1}+\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\approx 1,931851653-1,65289165i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Υψώστε το \sqrt{6}+\sqrt{2}-x στο τετράγωνο.

$$x^{2}+x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+2\sqrt{2}\sqrt{6}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}+\left(\sqrt{6}\right)^{2}=2$$

Παραγοντοποιήστε με το 6=2\times 3. Γράψτε ξανά την τετραγωνική ρίζα του προϊόντος \sqrt{2\times 3} ως το γινόμενο των τετράγωνου ρίζες \sqrt{2}\sqrt{3}.

$$x^{2}+x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+2\sqrt{2}\sqrt{2}\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}+\left(\sqrt{6}\right)^{2}=2$$

Πολλαπλασιάστε \sqrt{2} και \sqrt{2} για να λάβετε 2.

$$x^{2}+x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+2\times 2\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}+\left(\sqrt{6}\right)^{2}=2$$

Πολλαπλασιάστε 2 και 2 για να λάβετε 4.

$$x^{2}+x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}+\left(\sqrt{6}\right)^{2}=2$$

Το τετράγωνο του \sqrt{2} είναι 2.

$$x^{2}+x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+4\sqrt{3}+2+\left(\sqrt{6}\right)^{2}=2$$

Το τετράγωνο του \sqrt{6} είναι 6.

$$x^{2}+x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+4\sqrt{3}+2+6=2$$

Προσθέστε 2 και 6 για να λάβετε 8.

$$x^{2}+x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+4\sqrt{3}+8=2$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+4\sqrt{3}+8=2$$

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+4\sqrt{3}+8-2=0$$

Αφαιρέστε 2 από 8 για να λάβετε 6.

$$2x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+4\sqrt{3}+6=0$$

Συνδυάστε όλους τους όρους που περιέχουν x.

$$2x^{2}+\left(-2\sqrt{2}-2\sqrt{6}\right)x+4\sqrt{3}+6=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με -2\sqrt{2}-2\sqrt{6} και το c με 4\sqrt{3}+6 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{2}-2\sqrt{6}\right)±\sqrt{\left(-2\sqrt{2}-2\sqrt{6}\right)^{2}-4\times 2\left(4\sqrt{3}+6\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το -2\sqrt{2}-2\sqrt{6} στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{2}-2\sqrt{6}\right)±\sqrt{16\sqrt{3}+32-4\times 2\left(4\sqrt{3}+6\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{2}-2\sqrt{6}\right)±\sqrt{16\sqrt{3}+32-8\left(4\sqrt{3}+6\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί 4\sqrt{3}+6.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{2}-2\sqrt{6}\right)±\sqrt{16\sqrt{3}+32-32\sqrt{3}-48}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 32+16\sqrt{3} και το -32\sqrt{3}-48.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{2}-2\sqrt{6}\right)±\sqrt{-16\sqrt{3}-16}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -16-16\sqrt{3}.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{2}-2\sqrt{6}\right)±4i\sqrt{\sqrt{3}+1}}{2\times 2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -2\sqrt{2}-2\sqrt{6} είναι 2\sqrt{2}+2\sqrt{6}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2\sqrt{6}±4i\sqrt{\sqrt{3}+1}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2\sqrt{6}±4i\sqrt{\sqrt{3}+1}}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2\sqrt{2}+2\sqrt{6}±4i\sqrt{\sqrt{3}+1}}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 2\sqrt{2}+2\sqrt{6} και το 4i\sqrt{1+\sqrt{3}}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2\sqrt{6}+4i\sqrt{\sqrt{3}+1}}{4}$$

Διαιρέστε το 2\sqrt{2}+2\sqrt{6}+4i\sqrt{1+\sqrt{3}} με το 4.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}+i\sqrt{\sqrt{3}+1}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2\sqrt{2}+2\sqrt{6}±4i\sqrt{\sqrt{3}+1}}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4i\sqrt{1+\sqrt{3}} από 2\sqrt{2}+2\sqrt{6}.

$$x=\frac{-4i\sqrt{\sqrt{3}+1}+2\sqrt{2}+2\sqrt{6}}{4}$$

Διαιρέστε το 2\sqrt{2}+2\sqrt{6}-4i\sqrt{1+\sqrt{3}} με το 4.

$$x=-i\sqrt{\sqrt{3}+1}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}+i\sqrt{\sqrt{3}+1} x=-i\sqrt{\sqrt{3}+1}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Υψώστε το \sqrt{6}+\sqrt{2}-x στο τετράγωνο.

$$x^{2}+x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+2\sqrt{2}\sqrt{6}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}+\left(\sqrt{6}\right)^{2}=2$$

Παραγοντοποιήστε με το 6=2\times 3. Γράψτε ξανά την τετραγωνική ρίζα του προϊόντος \sqrt{2\times 3} ως το γινόμενο των τετράγωνου ρίζες \sqrt{2}\sqrt{3}.

$$x^{2}+x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+2\sqrt{2}\sqrt{2}\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}+\left(\sqrt{6}\right)^{2}=2$$

Πολλαπλασιάστε \sqrt{2} και \sqrt{2} για να λάβετε 2.

$$x^{2}+x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+2\times 2\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}+\left(\sqrt{6}\right)^{2}=2$$

Πολλαπλασιάστε 2 και 2 για να λάβετε 4.

$$x^{2}+x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}+\left(\sqrt{6}\right)^{2}=2$$

Το τετράγωνο του \sqrt{2} είναι 2.

$$x^{2}+x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+4\sqrt{3}+2+\left(\sqrt{6}\right)^{2}=2$$

Το τετράγωνο του \sqrt{6} είναι 6.

$$x^{2}+x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+4\sqrt{3}+2+6=2$$

Προσθέστε 2 και 6 για να λάβετε 8.

$$x^{2}+x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+4\sqrt{3}+8=2$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+4\sqrt{3}+8=2$$

Αφαιρέστε 4\sqrt{3} και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+8=2-4\sqrt{3}$$

Αφαιρέστε 8 και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x=2-4\sqrt{3}-8$$

Αφαιρέστε 8 από 2 για να λάβετε -6.

$$2x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x=-6-4\sqrt{3}$$

Συνδυάστε όλους τους όρους που περιέχουν x.

$$2x^{2}+\left(-2\sqrt{2}-2\sqrt{6}\right)x=-6-4\sqrt{3}$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+\left(-2\sqrt{2}-2\sqrt{6}\right)x=-4\sqrt{3}-6$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}+\left(-2\sqrt{2}-2\sqrt{6}\right)x}{2}=\frac{-4\sqrt{3}-6}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}+\frac{-2\sqrt{2}-2\sqrt{6}}{2}x=\frac{-4\sqrt{3}-6}{2}$$

Διαιρέστε το -2\sqrt{2}-2\sqrt{6} με το 2.

$$x^{2}+\left(-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)x=\frac{-4\sqrt{3}-6}{2}$$

Διαιρέστε το -6-4\sqrt{3} με το 2.

$$x^{2}+\left(-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)x=-2\sqrt{3}-3$$

Διαιρέστε το -\sqrt{2}-\sqrt{6}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\left(-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)x+\left(\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\right)^{2}=-2\sqrt{3}-3+\left(\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2} στο τετράγωνο.

$$x^{2}+\left(-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)x+\sqrt{3}+2=-2\sqrt{3}-3+\sqrt{3}+2$$

Προσθέστε το -3-2\sqrt{3} και το 2+\sqrt{3}.

$$x^{2}+\left(-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)x+\sqrt{3}+2=-\sqrt{3}-1$$

Παραγον x^{2}+\left(-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)x+\sqrt{3}+2. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\right)^{2}=-\sqrt{3}-1$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\sqrt{3}-1}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}=i\sqrt{\sqrt{3}+1} x+\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}=-i\sqrt{\sqrt{3}+1}$$

Αφαιρέστε \frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}+i\sqrt{\sqrt{3}+1} x=-i\sqrt{\sqrt{3}+1}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}$$