Επίλυση x^10-y^10

$${ x }^{ 10 } - { y }^{ 10 }$$

Παράγοντας

$$\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^{4}+x^{2}y^{2}-xy^{3}+y^{4}-yx^{3}\right)\left(x^{4}+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4}+yx^{3}\right)$$

Βήματα λύσης

Γράψτε πάλι το x^{10}-y^{10} ως \left(x^{5}\right)^{2}-\left(y^{5}\right)^{2}. Η διαφορά τετραγώνων μπορεί να παραγοντοποιηθεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα: a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right).

$$\left(x^{5}-y^{5}\right)\left(x^{5}+y^{5}\right)$$

Υπολογίστε x^{5}-y^{5}. Λάβετε υπόψη το x^{5}-y^{5} ως πολυώνυμο της μεταβλητής x. Βρείτε έναν παράγοντα της φόρμας x^{k}+m, όπου το x^{k} διαιρεί το μονώνυμο με την υψηλότερη δύναμη x^{5} και το m διαιρεί τον σταθερό παράγοντα -y^{5}. Ένας τέτοιος παράγοντας είναι το x-y. Παραγοντοποιήστε το πολυώνυμο διαιρώντας το με αυτόν τον παράγοντα.

$$\left(x-y\right)\left(x^{4}+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4}+yx^{3}\right)$$

Υπολογίστε x^{5}+y^{5}. Λάβετε υπόψη το x^{5}+y^{5} ως πολυώνυμο της μεταβλητής x. Βρείτε έναν παράγοντα της φόρμας x^{n}+p, όπου το x^{n} διαιρεί το μονώνυμο με την υψηλότερη δύναμη x^{5} και το p διαιρεί τον σταθερό παράγοντα y^{5}. Ένας τέτοιος παράγοντας είναι το x+y. Παραγοντοποιήστε το πολυώνυμο διαιρώντας το με αυτόν τον παράγοντα.

$$\left(x+y\right)\left(x^{4}+x^{2}y^{2}-xy^{3}+y^{4}-yx^{3}\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^{4}+x^{2}y^{2}-xy^{3}+y^{4}-yx^{3}\right)\left(x^{4}+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4}+yx^{3}\right)$$

Υπολογισμός

$$x^{10}-y^{10}$$