Επίλυση 4^2-4x(5-x)=0

$${ 4 }^{ 2 } -4x(5-x)=0$$

Λύση ως προς x

$$x=1$$

$$x=4$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Υπολογίστε το 4στη δύναμη του 2 και λάβετε 16.

$$16-4x\left(5-x\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -4x με το 5-x.

$$16-20x+4x^{2}=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$4-5x+x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$x^{2}-5x+4=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+4. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-5 ab=1\times 4=4$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -5.

$$a=-4 b=-1$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-5x+4 ως \left(x^{2}-4x\right)+\left(-x+4\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(-x+4\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-4=0 και x-1=0.

$$x=4 x=1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Υπολογίστε το 4στη δύναμη του 2 και λάβετε 16.

$$16-4x\left(5-x\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -4x με το 5-x.

$$16-20x+4x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4x^{2}-20x+16=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με -20 και το c με 16 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\times 16}}{2\times 4}$$

Υψώστε το -20 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 4\times 16}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-16\times 16}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί 16.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-256}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 400 και το -256.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 144.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±12}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -20 είναι 20.

$$x=\frac{20±12}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{20±12}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{20±12}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 20 και το 12.

$$x=\frac{32}{8}$$

Διαιρέστε το 32 με το 8.

$$x=4$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{20±12}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 12 από 20.

$$x=\frac{8}{8}$$

Διαιρέστε το 8 με το 8.

$$x=1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=4 x=1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Υπολογίστε το 4στη δύναμη του 2 και λάβετε 16.

$$16-4x\left(5-x\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -4x με το 5-x.

$$16-20x+4x^{2}=0$$

Αφαιρέστε 16 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$-20x+4x^{2}=-16$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-20x=-16$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}-20x}{4}=-\frac{16}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{4}\right)x=-\frac{16}{4}$$

Διαιρέστε το -20 με το 4.

$$x^{2}-5x=-\frac{16}{4}$$

Διαιρέστε το -16 με το 4.

$$x^{2}-5x=-4$$

Διαιρέστε το -5, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{5}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{5}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{5}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-4+\frac{25}{4}$$

Προσθέστε το -4 και το \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{9}{4}$$

Παραγον x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}$$

Προσθέστε \frac{5}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=4 x=1$$