Επίλυση left(y-3right)^2-5(y+3)+4=0

$${ \left(y-3 \right) }^{ 2 } -5(y+3)+4=0$$

Λύση ως προς y

$$y = \frac{\sqrt{129} + 11}{2} \approx 11,178908346$$

$$y=\frac{11-\sqrt{129}}{2}\approx -0,178908346$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(y-3\right)^{2}.

$$y^{2}-6y+9-5\left(y+3\right)+4=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -5 με το y+3.

$$y^{2}-6y+9-5y-15+4=0$$

Συνδυάστε το -6y και το -5y για να λάβετε -11y.

$$y^{2}-11y+9-15+4=0$$

Αφαιρέστε 15 από 9 για να λάβετε -6.

$$y^{2}-11y-6+4=0$$

Προσθέστε -6 και 4 για να λάβετε -2.

$$y^{2}-11y-2=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -11 και το c με -2 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Υψώστε το -11 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-2\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -2.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+8}}{2}$$

Προσθέστε το 121 και το 8.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{129}}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -11 είναι 11.

$$y=\frac{11±\sqrt{129}}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{11±\sqrt{129}}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 11 και το \sqrt{129}.

$$y=\frac{\sqrt{129}+11}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{11±\sqrt{129}}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε \sqrt{129} από 11.

$$y=\frac{11-\sqrt{129}}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$y=\frac{\sqrt{129}+11}{2} y=\frac{11-\sqrt{129}}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(y-3\right)^{2}.

$$y^{2}-6y+9-5\left(y+3\right)+4=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -5 με το y+3.

$$y^{2}-6y+9-5y-15+4=0$$

Συνδυάστε το -6y και το -5y για να λάβετε -11y.

$$y^{2}-11y+9-15+4=0$$

Αφαιρέστε 15 από 9 για να λάβετε -6.

$$y^{2}-11y-6+4=0$$

Προσθέστε -6 και 4 για να λάβετε -2.

$$y^{2}-11y-2=0$$

Προσθήκη 2 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$y^{2}-11y=2$$

Διαιρέστε το -11, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{11}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{11}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$y^{2}-11y+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{11}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$y^{2}-11y+\frac{121}{4}=2+\frac{121}{4}$$

Προσθέστε το 2 και το \frac{121}{4}.

$$y^{2}-11y+\frac{121}{4}=\frac{129}{4}$$

Παραγον y^{2}-11y+\frac{121}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{129}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{129}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$y-\frac{11}{2}=\frac{\sqrt{129}}{2} y-\frac{11}{2}=-\frac{\sqrt{129}}{2}$$

Προσθέστε \frac{11}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y=\frac{\sqrt{129}+11}{2} y=\frac{11-\sqrt{129}}{2}$$