Επίλυση left(x+14right)^2-left(x+11right)^2=left(x-6right)^2

$${ \left(x+14 \right) }^{ 2 } - { \left(x+11 \right) }^{ 2 } = { \left(x-6 \right) }^{ 2 }$$

Λύση ως προς x

$$x=2\sqrt{30}+9\approx 19,95445115$$

$$x=9-2\sqrt{30}\approx -1,95445115$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+14\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+11\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}+22x+121, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Συνδυάστε το x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 0.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Συνδυάστε το 28x και το -22x για να λάβετε 6x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Αφαιρέστε 121 από 196 για να λάβετε 75.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-6\right)^{2}.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Προσθήκη 12x και στις δύο πλευρές.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Συνδυάστε το 6x και το 12x για να λάβετε 18x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Αφαιρέστε 36 και από τις δύο πλευρές.

$$18x+75-x^{2}-36=0$$

Αφαιρέστε 36 από 75 για να λάβετε 39.

$$18x+39-x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}+18x+39=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με 18 και το c με 39 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το 18 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+4\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 39.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+156}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 324 και το 156.

$$x=\frac{-18±\sqrt{480}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 480.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -18 και το 4\sqrt{30}.

$$x=\frac{4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Διαιρέστε το -18+4\sqrt{30} με το -2.

$$x=9-2\sqrt{30}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4\sqrt{30} από -18.

$$x=\frac{-4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Διαιρέστε το -18-4\sqrt{30} με το -2.

$$x=2\sqrt{30}+9$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=9-2\sqrt{30} x=2\sqrt{30}+9$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+14\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+11\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}+22x+121, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Συνδυάστε το x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 0.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Συνδυάστε το 28x και το -22x για να λάβετε 6x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Αφαιρέστε 121 από 196 για να λάβετε 75.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-6\right)^{2}.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Προσθήκη 12x και στις δύο πλευρές.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Συνδυάστε το 6x και το 12x για να λάβετε 18x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Αφαιρέστε 75 και από τις δύο πλευρές.

$$18x-x^{2}=36-75$$

Αφαιρέστε 75 από 36 για να λάβετε -39.

$$18x-x^{2}=-39$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+18x=-39$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}+18x}{-1}=-\frac{39}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\frac{18}{-1}x=-\frac{39}{-1}$$

Διαιρέστε το 18 με το -1.

$$x^{2}-18x=-\frac{39}{-1}$$

Διαιρέστε το -39 με το -1.

$$x^{2}-18x=39$$

Διαιρέστε το -18, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -9. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -9 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=39+\left(-9\right)^{2}$$

Υψώστε το -9 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-18x+81=39+81$$

Προσθέστε το 39 και το 81.

$$x^{2}-18x+81=120$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-18x+81. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-9\right)^{2}=120$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{120}$$

Απλοποιήστε.

$$x-9=2\sqrt{30} x-9=-2\sqrt{30}$$

Προσθέστε 9 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=2\sqrt{30}+9 x=9-2\sqrt{30}$$