Επίλυση left(6x-2right)^2-4*x*5x<0

$${ \left(6x-2 \right) }^{ 2 } -4 \times x \times 5x < 0$$

Λύση ως προς x

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{4},\frac{\sqrt{5}+3}{4}\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Πολλαπλασιάστε x και x για να λάβετε x^{2}.

$$\left(6x-2\right)^{2}-4x^{2}\times 5<0$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(6x-2\right)^{2}.

$$36x^{2}-24x+4-4x^{2}\times 5<0$$

Πολλαπλασιάστε 4 και 5 για να λάβετε 20.

$$36x^{2}-24x+4-20x^{2}<0$$

Συνδυάστε το 36x^{2} και το -20x^{2} για να λάβετε 16x^{2}.

$$16x^{2}-24x+4<0$$

Για να επιλύσετε τις ανισότητες, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά. Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$16x^{2}-24x+4=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 16 για a, -24 για b και 4 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 16\times 4}}{2\times 16}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$x=\frac{24±8\sqrt{5}}{32}$$

Επιλύστε την εξίσωση x=\frac{24±8\sqrt{5}}{32} όταν το ± είναι συν και όταν ± είναι μείον.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{5}}{4}$$

Γράψτε ξανά τις ανισότητες, χρησιμοποιώντας τις λύσεις που βρέθηκαν.

$$16\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{4}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{4}\right)<0$$

Για να είναι αρνητικό το γινόμενο, τα x-\frac{\sqrt{5}+3}{4} και x-\frac{3-\sqrt{5}}{4} πρέπει να έχουν αντίθετο πρόσημο. Σκεφτείτε την περίπτωση όταν το x-\frac{\sqrt{5}+3}{4} είναι θετικό και το x-\frac{3-\sqrt{5}}{4} είναι αρνητικό.

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{4}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{4}<0$$

Αυτό είναι ψευδές για οποιοδήποτε x.

$$x\in \emptyset$$

Σκεφτείτε την περίπτωση όταν το x-\frac{3-\sqrt{5}}{4} είναι θετικό και το x-\frac{\sqrt{5}+3}{4} είναι αρνητικό.

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{4}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{4}<0$$

Η λύση που ικανοποιεί και τις δύο ανισότητες είναι x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{4},\frac{\sqrt{5}+3}{4}\right).

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{4},\frac{\sqrt{5}+3}{4}\right)$$

Η τελική λύση είναι η ένωση των λύσεων που βρέθηκαν.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{4},\frac{\sqrt{5}+3}{4}\right)$$