Επίλυση left(5x+1right)^2-3(5x+1)-4=0

$${ \left(5x+1 \right) }^{ 2 } -3(5x+1)-4=0$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=\frac{3}{5}=0,6$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(5x+1\right)^{2}.

$$25x^{2}+10x+1-3\left(5x+1\right)-4=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -3 με το 5x+1.

$$25x^{2}+10x+1-15x-3-4=0$$

Συνδυάστε το 10x και το -15x για να λάβετε -5x.

$$25x^{2}-5x+1-3-4=0$$

Αφαιρέστε 3 από 1 για να λάβετε -2.

$$25x^{2}-5x-2-4=0$$

Αφαιρέστε 4 από -2 για να λάβετε -6.

$$25x^{2}-5x-6=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 25x^{2}+ax+bx-6. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-5 ab=25\left(-6\right)=-150$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -150.

$$1,-150 2,-75 3,-50 5,-30 6,-25 10,-15$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-150=-149 2-75=-73 3-50=-47 5-30=-25 6-25=-19 10-15=-5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -5.

$$a=-15 b=10$$

Γράψτε πάλι το 25x^{2}-5x-6 ως \left(25x^{2}-15x\right)+\left(10x-6\right).

$$\left(25x^{2}-15x\right)+\left(10x-6\right)$$

Παραγοντοποιήστε 5x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$5x\left(5x-3\right)+2\left(5x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5x-3\right)\left(5x+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 5x-3=0 και 5x+2=0.

$$x=\frac{3}{5} x=-\frac{2}{5}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(5x+1\right)^{2}.

$$25x^{2}+10x+1-3\left(5x+1\right)-4=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -3 με το 5x+1.

$$25x^{2}+10x+1-15x-3-4=0$$

Συνδυάστε το 10x και το -15x για να λάβετε -5x.

$$25x^{2}-5x+1-3-4=0$$

Αφαιρέστε 3 από 1 για να λάβετε -2.

$$25x^{2}-5x-2-4=0$$

Αφαιρέστε 4 από -2 για να λάβετε -6.

$$25x^{2}-5x-6=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 25, το b με -5 και το c με -6 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 25\left(-6\right)}}{2\times 25}$$

Υψώστε το -5 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 25\left(-6\right)}}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 25.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-100\left(-6\right)}}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το -100 επί -6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+600}}{2\times 25}$$

Προσθέστε το 25 και το 600.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{625}}{2\times 25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 625.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±25}{2\times 25}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -5 είναι 5.

$$x=\frac{5±25}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 25.

$$x=\frac{5±25}{50}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{5±25}{50} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 5 και το 25.

$$x=\frac{30}{50}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{30}{50} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$x=\frac{3}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{5±25}{50} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 25 από 5.

$$x=-\frac{20}{50}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-20}{50} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{3}{5} x=-\frac{2}{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(5x+1\right)^{2}.

$$25x^{2}+10x+1-3\left(5x+1\right)-4=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -3 με το 5x+1.

$$25x^{2}+10x+1-15x-3-4=0$$

Συνδυάστε το 10x και το -15x για να λάβετε -5x.

$$25x^{2}-5x+1-3-4=0$$

Αφαιρέστε 3 από 1 για να λάβετε -2.

$$25x^{2}-5x-2-4=0$$

Αφαιρέστε 4 από -2 για να λάβετε -6.

$$25x^{2}-5x-6=0$$

Προσθήκη 6 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$25x^{2}-5x=6$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 25.

$$\frac{25x^{2}-5x}{25}=\frac{6}{25}$$

Η διαίρεση με το 25 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{25}\right)x=\frac{6}{25}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-5}{25} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{6}{25}$$

Διαιρέστε το -\frac{1}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{10}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{10} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{6}{25}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{10} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{6}{25}+\frac{1}{100}$$

Προσθέστε το \frac{6}{25} και το \frac{1}{100} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{1}{4}$$

Παραγον x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{1}{2} x-\frac{1}{10}=-\frac{1}{2}$$

Προσθέστε \frac{1}{10} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{3}{5} x=-\frac{2}{5}$$