Επίλυση left(3xright)^2-13x+4=0

$${ \left(3x \right) }^{ 2 } -13x+4 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=1$$

$$x=\frac{4}{9}\approx 0,444444444$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αναπτύξτε το \left(3x\right)^{2}.

$$3^{2}x^{2}-13x+4=0$$

Υπολογίστε το 3στη δύναμη του 2 και λάβετε 9.

$$9x^{2}-13x+4=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 9x^{2}+ax+bx+4. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-13 ab=9\times 4=36$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -13.

$$a=-9 b=-4$$

Γράψτε πάλι το 9x^{2}-13x+4 ως \left(9x^{2}-9x\right)+\left(-4x+4\right).

$$\left(9x^{2}-9x\right)+\left(-4x+4\right)$$

Παραγοντοποιήστε 9x στο πρώτο και στο -4 της δεύτερης ομάδας.

$$9x\left(x-1\right)-4\left(x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-1\right)\left(9x-4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-1=0 και 9x-4=0.

$$x=1 x=\frac{4}{9}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Αναπτύξτε το \left(3x\right)^{2}.

$$3^{2}x^{2}-13x+4=0$$

Υπολογίστε το 3στη δύναμη του 2 και λάβετε 9.

$$9x^{2}-13x+4=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 9, το b με -13 και το c με 4 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Υψώστε το -13 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 9.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-36\times 4}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -36 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-144}}{2\times 9}$$

Προσθέστε το 169 και το -144.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{25}}{2\times 9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 25.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±5}{2\times 9}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -13 είναι 13.

$$x=\frac{13±5}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 9.

$$x=\frac{13±5}{18}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{13±5}{18} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 13 και το 5.

$$x=\frac{18}{18}$$

Διαιρέστε το 18 με το 18.

$$x=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{13±5}{18} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 5 από 13.

$$x=\frac{8}{18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{8}{18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{4}{9}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=1 x=\frac{4}{9}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Αναπτύξτε το \left(3x\right)^{2}.

$$3^{2}x^{2}-13x+4=0$$

Υπολογίστε το 3στη δύναμη του 2 και λάβετε 9.

$$9x^{2}-13x+4=0$$

Αφαιρέστε 4 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$9x^{2}-13x=-4$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 9.

$$\frac{9x^{2}-13x}{9}=-\frac{4}{9}$$

Η διαίρεση με το 9 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 9.

$$x^{2}-\frac{13}{9}x=-\frac{4}{9}$$

Διαιρέστε το -\frac{13}{9}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{13}{18}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{13}{18} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{13}{9}x+\left(-\frac{13}{18}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{13}{18}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{13}{18} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{13}{9}x+\frac{169}{324}=-\frac{4}{9}+\frac{169}{324}$$

Προσθέστε το -\frac{4}{9} και το \frac{169}{324} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{13}{9}x+\frac{169}{324}=\frac{25}{324}$$

Παραγον x^{2}-\frac{13}{9}x+\frac{169}{324}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{18}\right)^{2}=\frac{25}{324}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{324}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{13}{18}=\frac{5}{18} x-\frac{13}{18}=-\frac{5}{18}$$

Προσθέστε \frac{13}{18} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=1 x=\frac{4}{9}$$