Επίλυση left(2x-3right)^2-left(x-5right)^2=-23

$${ \left(2x-3 \right) }^{ 2 } - { \left(x-5 \right) }^{ 2 } =-23$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3}\approx 0,333333333+1,490711985i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}\approx 0,333333333-1,490711985i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x-5\right)^{2}=-23$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}-10x+25\right)=-23$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}-10x+25, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}+10x-25=-23$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9+10x-25=-23$$

Συνδυάστε το -12x και το 10x για να λάβετε -2x.

$$3x^{2}-2x+9-25=-23$$

Αφαιρέστε 25 από 9 για να λάβετε -16.

$$3x^{2}-2x-16=-23$$

Προσθήκη 23 και στις δύο πλευρές.

$$3x^{2}-2x-16+23=0$$

Προσθέστε -16 και 23 για να λάβετε 7.

$$3x^{2}-2x+7=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με -2 και το c με 7 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Υψώστε το -2 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\times 7}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί 7.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-84}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 4 και το -84.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-80}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -80.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 3}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -2 είναι 2.

$$x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 2 και το 4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{2+4\sqrt{5}i}{6}$$

Διαιρέστε το 2+4i\sqrt{5} με το 6.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4i\sqrt{5} από 2.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+2}{6}$$

Διαιρέστε το 2-4i\sqrt{5} με το 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x-5\right)^{2}=-23$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}-10x+25\right)=-23$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}-10x+25, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}+10x-25=-23$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9+10x-25=-23$$

Συνδυάστε το -12x και το 10x για να λάβετε -2x.

$$3x^{2}-2x+9-25=-23$$

Αφαιρέστε 25 από 9 για να λάβετε -16.

$$3x^{2}-2x-16=-23$$

Προσθήκη 16 και στις δύο πλευρές.

$$3x^{2}-2x=-23+16$$

Προσθέστε -23 και 16 για να λάβετε -7.

$$3x^{2}-2x=-7$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=-\frac{7}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Διαιρέστε το -\frac{2}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{1}{9}$$

Προσθέστε το -\frac{7}{3} και το \frac{1}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{20}{9}$$

Παραγον x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{20}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{20}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{5}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{5}i}{3}$$

Προσθέστε \frac{1}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$