Επίλυση left(2x-3right)^2=49

$${ \left(2x-3 \right) }^{ 2 } =49$$

Λύση ως προς x

$$x=5$$

$$x=-2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9=49$$

Αφαιρέστε 49 και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}-12x+9-49=0$$

Αφαιρέστε 49 από 9 για να λάβετε -40.

$$4x^{2}-12x-40=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$x^{2}-3x-10=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-10. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-3 ab=1\left(-10\right)=-10$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -10.

$$1,-10 2,-5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -3.

$$a=-5 b=2$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-3x-10 ως \left(x^{2}-5x\right)+\left(2x-10\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(2x-10\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-5\right)+2\left(x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-5\right)\left(x+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-5=0 και x+2=0.

$$x=5 x=-2$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9=49$$

Αφαιρέστε 49 και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}-12x+9-49=0$$

Αφαιρέστε 49 από 9 για να λάβετε -40.

$$4x^{2}-12x-40=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με -12 και το c με -40 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-40\right)}}{2\times 4}$$

Υψώστε το -12 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-40\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-40\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -40.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+640}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 144 και το 640.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{784}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 784.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±28}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -12 είναι 12.

$$x=\frac{12±28}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{12±28}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{12±28}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 12 και το 28.

$$x=\frac{40}{8}$$

Διαιρέστε το 40 με το 8.

$$x=5$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{12±28}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 28 από 12.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Διαιρέστε το -16 με το 8.

$$x=-2$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=5 x=-2$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9=49$$

Αφαιρέστε 9 και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}-12x=49-9$$

Αφαιρέστε 9 από 49 για να λάβετε 40.

$$4x^{2}-12x=40$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{40}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{40}{4}$$

Διαιρέστε το -12 με το 4.

$$x^{2}-3x=\frac{40}{4}$$

Διαιρέστε το 40 με το 4.

$$x^{2}-3x=10$$

Διαιρέστε το -3, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{3}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{3}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Προσθέστε το 10 και το \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Παραγον x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Προσθέστε \frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=5 x=-2$$