Επίλυση {left(05sqrt{3}xright)}^2+left(5-15xright)^2=left(1+xright)^2

$${ \left(05 \sqrt{ 3 } x \right) }^{ 2 } + { \left(5-15x \right) }^{ 2 } = { \left(1+x \right) }^{ 2 }$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x=\frac{3}{7}\approx 0,428571429$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Πολλαπλασιάστε 0 και 5 για να λάβετε 0.

$$\left(0\sqrt{3}x\right)^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Το γινόμενο οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με μηδέν.

$$0^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Υπολογίστε το 0στη δύναμη του 2 και λάβετε 0.

$$0+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(5-15x\right)^{2}.

$$0+25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Προσθέστε 0 και 25 για να λάβετε 25.

$$25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(1+x\right)^{2}.

$$25-150x+225x^{2}=1+2x+x^{2}$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές.

$$25-150x+225x^{2}-1=2x+x^{2}$$

Αφαιρέστε 1 από 25 για να λάβετε 24.

$$24-150x+225x^{2}=2x+x^{2}$$

Αφαιρέστε 2x και από τις δύο πλευρές.

$$24-150x+225x^{2}-2x=x^{2}$$

Συνδυάστε το -150x και το -2x για να λάβετε -152x.

$$24-152x+225x^{2}=x^{2}$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$24-152x+225x^{2}-x^{2}=0$$

Συνδυάστε το 225x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 224x^{2}.

$$24-152x+224x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$224x^{2}-152x+24=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 224, το b με -152 και το c με 24 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{\left(-152\right)^{2}-4\times 224\times 24}}{2\times 224}$$

Υψώστε το -152 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-4\times 224\times 24}}{2\times 224}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 224.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-896\times 24}}{2\times 224}$$

Πολλαπλασιάστε το -896 επί 24.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-21504}}{2\times 224}$$

Προσθέστε το 23104 και το -21504.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{1600}}{2\times 224}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1600.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±40}{2\times 224}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -152 είναι 152.

$$x=\frac{152±40}{2\times 224}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 224.

$$x=\frac{152±40}{448}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{152±40}{448} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 152 και το 40.

$$x=\frac{192}{448}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{192}{448} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 64.

$$x=\frac{3}{7}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{152±40}{448} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 40 από 152.

$$x=\frac{112}{448}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{112}{448} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 112.

$$x=\frac{1}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{3}{7} x=\frac{1}{4}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Πολλαπλασιάστε 0 και 5 για να λάβετε 0.

$$\left(0\sqrt{3}x\right)^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Το γινόμενο οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με μηδέν.

$$0^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Υπολογίστε το 0στη δύναμη του 2 και λάβετε 0.

$$0+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(5-15x\right)^{2}.

$$0+25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Προσθέστε 0 και 25 για να λάβετε 25.

$$25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(1+x\right)^{2}.

$$25-150x+225x^{2}=1+2x+x^{2}$$

Αφαιρέστε 2x και από τις δύο πλευρές.

$$25-150x+225x^{2}-2x=1+x^{2}$$

Συνδυάστε το -150x και το -2x για να λάβετε -152x.

$$25-152x+225x^{2}=1+x^{2}$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$25-152x+225x^{2}-x^{2}=1$$

Συνδυάστε το 225x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 224x^{2}.

$$25-152x+224x^{2}=1$$

Αφαιρέστε 25 και από τις δύο πλευρές.

$$-152x+224x^{2}=1-25$$

Αφαιρέστε 25 από 1 για να λάβετε -24.

$$-152x+224x^{2}=-24$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$224x^{2}-152x=-24$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 224.

$$\frac{224x^{2}-152x}{224}=-\frac{24}{224}$$

Η διαίρεση με το 224 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 224.

$$x^{2}+\left(-\frac{152}{224}\right)x=-\frac{24}{224}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-152}{224} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x=-\frac{24}{224}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-24}{224} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x=-\frac{3}{28}$$

Διαιρέστε το -\frac{19}{28}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{19}{56}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{19}{56} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\left(-\frac{19}{56}\right)^{2}=-\frac{3}{28}+\left(-\frac{19}{56}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{19}{56} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}=-\frac{3}{28}+\frac{361}{3136}$$

Προσθέστε το -\frac{3}{28} και το \frac{361}{3136} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}=\frac{25}{3136}$$

Παραγον x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{56}\right)^{2}=\frac{25}{3136}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{3136}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{19}{56}=\frac{5}{56} x-\frac{19}{56}=-\frac{5}{56}$$

Προσθέστε \frac{19}{56} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{3}{7} x=\frac{1}{4}$$