Επίλυση {left(frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}-1}right)}^2

$${ \left( \frac{ \sqrt{ 3 } +1 }{ \sqrt{ 3 } -1 } \right) }^{ 2 }$$

Υπολογισμός

$$4\sqrt{3}+7\approx 13,92820323$$

Βήματα λύσης

Ρητοποιήστε τον παρονομαστή \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Υπολογίστε \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Υψώστε το \sqrt{3} στο τετράγωνο. Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Αφαιρέστε 1 από 3 για να λάβετε 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Πολλαπλασιάστε \sqrt{3}+1 και \sqrt{3}+1 για να λάβετε \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Το τετράγωνο του \sqrt{3} είναι 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Προσθέστε 3 και 1 για να λάβετε 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Διαιρέστε κάθε όρο του 4+2\sqrt{3} με το 2 για να λάβετε 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Το τετράγωνο του \sqrt{3} είναι 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Προσθέστε 4 και 3 για να λάβετε 7.

$$7+4\sqrt{3}$$

Ανάπτυξη

$$4 \sqrt{3} + 7 = 13,92820323$$

Βήματα λύσης

Ρητοποιήστε τον παρονομαστή \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Υπολογίστε \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Υψώστε το \sqrt{3} στο τετράγωνο. Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Αφαιρέστε 1 από 3 για να λάβετε 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Πολλαπλασιάστε \sqrt{3}+1 και \sqrt{3}+1 για να λάβετε \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Το τετράγωνο του \sqrt{3} είναι 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Προσθέστε 3 και 1 για να λάβετε 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Διαιρέστε κάθε όρο του 4+2\sqrt{3} με το 2 για να λάβετε 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Το τετράγωνο του \sqrt{3} είναι 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Προσθέστε 4 και 3 για να λάβετε 7.

$$7+4\sqrt{3}$$