Επίλυση left(u+1right)^2=2u^2+5u+3

$${ \left( u+1 \right) }^{ 2 } =2 { u }^{ 2 } +5u+3$$

Λύση ως προς u

$$u=-1$$

$$u=-2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(u+1\right)^{2}.

$$u^{2}+2u+1=2u^{2}+5u+3$$

Αφαιρέστε 2u^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$u^{2}+2u+1-2u^{2}=5u+3$$

Συνδυάστε το u^{2} και το -2u^{2} για να λάβετε -u^{2}.

$$-u^{2}+2u+1=5u+3$$

Αφαιρέστε 5u και από τις δύο πλευρές.

$$-u^{2}+2u+1-5u=3$$

Συνδυάστε το 2u και το -5u για να λάβετε -3u.

$$-u^{2}-3u+1=3$$

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές.

$$-u^{2}-3u+1-3=0$$

Αφαιρέστε 3 από 1 για να λάβετε -2.

$$-u^{2}-3u-2=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -u^{2}+au+bu-2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-3 ab=-\left(-2\right)=2$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι αρνητική, a και b είναι και τα δύο αρνητικά. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=-1 b=-2$$

Γράψτε πάλι το -u^{2}-3u-2 ως \left(-u^{2}-u\right)+\left(-2u-2\right).

$$\left(-u^{2}-u\right)+\left(-2u-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε το u στην πρώτη και το 2 στη δεύτερη ομάδα.

$$u\left(-u-1\right)+2\left(-u-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο -u-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(-u-1\right)\left(u+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε -u-1=0 και u+2=0.

$$u=-1 u=-2$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(u+1\right)^{2}.

$$u^{2}+2u+1=2u^{2}+5u+3$$

Αφαιρέστε 2u^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$u^{2}+2u+1-2u^{2}=5u+3$$

Συνδυάστε το u^{2} και το -2u^{2} για να λάβετε -u^{2}.

$$-u^{2}+2u+1=5u+3$$

Αφαιρέστε 5u και από τις δύο πλευρές.

$$-u^{2}+2u+1-5u=3$$

Συνδυάστε το 2u και το -5u για να λάβετε -3u.

$$-u^{2}-3u+1=3$$

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές.

$$-u^{2}-3u+1-3=0$$

Αφαιρέστε 3 από 1 για να λάβετε -2.

$$-u^{2}-3u-2=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με -3 και το c με -2 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το -3 στο τετράγωνο.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+4\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί -2.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 9 και το -8.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{1}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±1}{2\left(-1\right)}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -3 είναι 3.

$$u=\frac{3±1}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$u=\frac{3±1}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση u=\frac{3±1}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 3 και το 1.

$$u=\frac{4}{-2}$$

Διαιρέστε το 4 με το -2.

$$u=-2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση u=\frac{3±1}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 1 από 3.

$$u=\frac{2}{-2}$$

Διαιρέστε το 2 με το -2.

$$u=-1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$u=-2 u=-1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(u+1\right)^{2}.

$$u^{2}+2u+1=2u^{2}+5u+3$$

Αφαιρέστε 2u^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$u^{2}+2u+1-2u^{2}=5u+3$$

Συνδυάστε το u^{2} και το -2u^{2} για να λάβετε -u^{2}.

$$-u^{2}+2u+1=5u+3$$

Αφαιρέστε 5u και από τις δύο πλευρές.

$$-u^{2}+2u+1-5u=3$$

Συνδυάστε το 2u και το -5u για να λάβετε -3u.

$$-u^{2}-3u+1=3$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές.

$$-u^{2}-3u=3-1$$

Αφαιρέστε 1 από 3 για να λάβετε 2.

$$-u^{2}-3u=2$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-u^{2}-3u}{-1}=\frac{2}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$u^{2}+\left(-\frac{3}{-1}\right)u=\frac{2}{-1}$$

Διαιρέστε το -3 με το -1.

$$u^{2}+3u=\frac{2}{-1}$$

Διαιρέστε το 2 με το -1.

$$u^{2}+3u=-2$$

Διαιρέστε το 3, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{3}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$u^{2}+3u+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{3}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$u^{2}+3u+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Προσθέστε το -2 και το \frac{9}{4}.

$$u^{2}+3u+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Παραγοντοποιήστε το u^{2}+3u+\frac{9}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(u+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(u+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$u+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} u+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{3}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$u=-1 u=-2$$