Επίλυση sqrt{x-4}-sqrt{4x-27}+sqrt{x-9}=0

$$\sqrt{ x-4 } - \sqrt{ 4x-27 } + \sqrt{ x-9 } =0$$

Λύση ως προς x

$$x=13$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε -\sqrt{4x-27}+\sqrt{x-9} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\sqrt{x-4}=-\left(-\sqrt{4x-27}+\sqrt{x-9}\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του -\sqrt{4x-27}+\sqrt{x-9}, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$\sqrt{x-4}=-\left(-\sqrt{4x-27}\right)-\sqrt{x-9}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -\sqrt{4x-27} είναι \sqrt{4x-27}.

$$\sqrt{x-4}=\sqrt{4x-27}-\sqrt{x-9}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}=\left(\sqrt{4x-27}-\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x-4}στη δύναμη του 2 και λάβετε x-4.

$$x-4=\left(\sqrt{4x-27}-\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(\sqrt{4x-27}-\sqrt{x-9}\right)^{2}.

$$x-4=\left(\sqrt{4x-27}\right)^{2}-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}+\left(\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{4x-27}στη δύναμη του 2 και λάβετε 4x-27.

$$x-4=4x-27-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}+\left(\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x-9}στη δύναμη του 2 και λάβετε x-9.

$$x-4=4x-27-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}+x-9$$

Συνδυάστε το 4x και το x για να λάβετε 5x.

$$x-4=5x-27-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}-9$$

Αφαιρέστε 9 από -27 για να λάβετε -36.

$$x-4=5x-36-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}$$

Αφαιρέστε 5x-36 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x-4-\left(5x-36\right)=-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 5x-36, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$x-4-5x+36=-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}$$

Συνδυάστε το x και το -5x για να λάβετε -4x.

$$-4x-4+36=-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}$$

Προσθέστε -4 και 36 για να λάβετε 32.

$$-4x+32=-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(-4x+32\right)^{2}=\left(-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(-4x+32\right)^{2}.

$$16x^{2}-256x+1024=\left(-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(-2\sqrt{4x-27}\sqrt{x-9}\right)^{2}.

$$16x^{2}-256x+1024=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{4x-27}\right)^{2}\left(\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το -2στη δύναμη του 2 και λάβετε 4.

$$16x^{2}-256x+1024=4\left(\sqrt{4x-27}\right)^{2}\left(\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{4x-27}στη δύναμη του 2 και λάβετε 4x-27.

$$16x^{2}-256x+1024=4\left(4x-27\right)\left(\sqrt{x-9}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x-9}στη δύναμη του 2 και λάβετε x-9.

$$16x^{2}-256x+1024=4\left(4x-27\right)\left(x-9\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4 με το 4x-27.

$$16x^{2}-256x+1024=\left(16x-108\right)\left(x-9\right)$$

Εφαρμόστε την επιμεριστική ιδιότητα πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο του 16x-108 με κάθε όρο του x-9.

$$16x^{2}-256x+1024=16x^{2}-144x-108x+972$$

Συνδυάστε το -144x και το -108x για να λάβετε -252x.

$$16x^{2}-256x+1024=16x^{2}-252x+972$$

Αφαιρέστε 16x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$16x^{2}-256x+1024-16x^{2}=-252x+972$$

Συνδυάστε το 16x^{2} και το -16x^{2} για να λάβετε 0.

$$-256x+1024=-252x+972$$

Προσθήκη 252x και στις δύο πλευρές.

$$-256x+1024+252x=972$$

Συνδυάστε το -256x και το 252x για να λάβετε -4x.

$$-4x+1024=972$$

Αφαιρέστε 1024 και από τις δύο πλευρές.

$$-4x=972-1024$$

Αφαιρέστε 1024 από 972 για να λάβετε -52.

$$-4x=-52$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -4.

$$x=\frac{-52}{-4}$$

Διαιρέστε το -52 με το -4 για να λάβετε 13.

$$x=13$$

Αντικαταστήστε το x με 13 στην εξίσωση \sqrt{x-4}-\sqrt{4x-27}+\sqrt{x-9}=0.

$$\sqrt{13-4}-\sqrt{4\times 13-27}+\sqrt{13-9}=0$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=13 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$0=0$$

Η εξίσωση \sqrt{x-4}=\sqrt{4x-27}-\sqrt{x-9} έχει μια μοναδική λύση.

$$x=13$$