Επίλυση sqrt{x+6}-sqrt{9x+70}=-2sqrt{x+9}

$$\sqrt{ x+6 } - \sqrt{ 9x+70 } = -2 \sqrt{ x+9 }$$

Λύση ως προς x

$$x=-5$$

Βήματα λύσης

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(\sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x+6}στη δύναμη του 2 και λάβετε x+6.

$$x+6-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{9x+70}στη δύναμη του 2 και λάβετε 9x+70.

$$x+6-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+9x+70=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Συνδυάστε το x και το 9x για να λάβετε 10x.

$$10x+6-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+70=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Προσθέστε 6 και 70 για να λάβετε 76.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το -2στη δύναμη του 2 και λάβετε 4.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4\left(\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x+9}στη δύναμη του 2 και λάβετε x+9.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4\left(x+9\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4 με το x+9.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4x+36$$

Αφαιρέστε 10x+76 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4x+36-\left(10x+76\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 10x+76, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4x+36-10x-76$$

Συνδυάστε το 4x και το -10x για να λάβετε -6x.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=-6x+36-76$$

Αφαιρέστε 76 από 36 για να λάβετε -40.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=-6x-40$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Υπολογίστε το -2στη δύναμη του 2 και λάβετε 4.

$$4\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x+6}στη δύναμη του 2 και λάβετε x+6.

$$4\left(x+6\right)\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{9x+70}στη δύναμη του 2 και λάβετε 9x+70.

$$4\left(x+6\right)\left(9x+70\right)=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4 με το x+6.

$$\left(4x+24\right)\left(9x+70\right)=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Εφαρμόστε την επιμεριστική ιδιότητα πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο του 4x+24 με κάθε όρο του 9x+70.

$$36x^{2}+280x+216x+1680=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Συνδυάστε το 280x και το 216x για να λάβετε 496x.

$$36x^{2}+496x+1680=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(-6x-40\right)^{2}.

$$36x^{2}+496x+1680=36x^{2}+480x+1600$$

Αφαιρέστε 36x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$36x^{2}+496x+1680-36x^{2}=480x+1600$$

Συνδυάστε το 36x^{2} και το -36x^{2} για να λάβετε 0.

$$496x+1680=480x+1600$$

Αφαιρέστε 480x και από τις δύο πλευρές.

$$496x+1680-480x=1600$$

Συνδυάστε το 496x και το -480x για να λάβετε 16x.

$$16x+1680=1600$$

Αφαιρέστε 1680 και από τις δύο πλευρές.

$$16x=1600-1680$$

Αφαιρέστε 1680 από 1600 για να λάβετε -80.

$$16x=-80$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 16.

$$x=\frac{-80}{16}$$

Διαιρέστε το -80 με το 16 για να λάβετε -5.

$$x=-5$$

Αντικαταστήστε το x με -5 στην εξίσωση \sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}=-2\sqrt{x+9}.

$$\sqrt{-5+6}-\sqrt{9\left(-5\right)+70}=-2\sqrt{-5+9}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=-5 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$-4=-4$$

Η εξίσωση \sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}=-2\sqrt{x+9} έχει μια μοναδική λύση.

$$x=-5$$