Επίλυση sqrt{x+5}=x

$$\sqrt{ x+5 } =x$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{\sqrt{21} + 1}{2} \approx 2,791287847$$

Βήματα λύσης

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}=x^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x+5}στη δύναμη του 2 και λάβετε x+5.

$$x+5=x^{2}$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$x+5-x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}+x+5=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με 1 και το c με 5 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+20}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 1 και το 20.

$$x=\frac{-1±\sqrt{21}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{21}}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±\sqrt{21}}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -1 και το \sqrt{21}.

$$x=\frac{\sqrt{21}-1}{-2}$$

Διαιρέστε το -1+\sqrt{21} με το -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{21}}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±\sqrt{21}}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε \sqrt{21} από -1.

$$x=\frac{-\sqrt{21}-1}{-2}$$

Διαιρέστε το -1-\sqrt{21} με το -2.

$$x=\frac{\sqrt{21}+1}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{1-\sqrt{21}}{2} x=\frac{\sqrt{21}+1}{2}$$

Αντικαταστήστε το x με \frac{1-\sqrt{21}}{2} στην εξίσωση \sqrt{x+5}=x.

$$\sqrt{\frac{1-\sqrt{21}}{2}+5}=\frac{1-\sqrt{21}}{2}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=\frac{1-\sqrt{21}}{2} δεν ικανοποιεί την εξίσωση, επειδή η αριστερή και η δεξιά πλευρά έχουν αντίθετα σήματα.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 21^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 21^{\frac{1}{2}}$$

Αντικαταστήστε το x με \frac{\sqrt{21}+1}{2} στην εξίσωση \sqrt{x+5}=x.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{21}+1}{2}+5}=\frac{\sqrt{21}+1}{2}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=\frac{\sqrt{21}+1}{2} ικανοποιεί την εξίσωση.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 21^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 21^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Η εξίσωση \sqrt{x+5}=x έχει μια μοναδική λύση.

$$x=\frac{\sqrt{21}+1}{2}$$