Επίλυση sqrt{x}=x-1

$$\sqrt{ x } =x-1$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2,618033989$$

Βήματα λύσης

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x}στη δύναμη του 2 και λάβετε x.

$$x=\left(x-1\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-1\right)^{2}.

$$x=x^{2}-2x+1$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$x-x^{2}=-2x+1$$

Προσθήκη 2x και στις δύο πλευρές.

$$x-x^{2}+2x=1$$

Συνδυάστε το x και το 2x για να λάβετε 3x.

$$3x-x^{2}=1$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές.

$$3x-x^{2}-1=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}+3x-1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με 3 και το c με -1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το 3 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 9 και το -4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -3 και το \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{-2}$$

Διαιρέστε το -3+\sqrt{5} με το -2.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε \sqrt{5} από -3.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{-2}$$

Διαιρέστε το -3-\sqrt{5} με το -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Αντικαταστήστε το x με \frac{3-\sqrt{5}}{2} στην εξίσωση \sqrt{x}=x-1.

$$\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}-1$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} δεν ικανοποιεί την εξίσωση, επειδή η αριστερή και η δεξιά πλευρά έχουν αντίθετα σήματα.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Αντικαταστήστε το x με \frac{\sqrt{5}+3}{2} στην εξίσωση \sqrt{x}=x-1.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\frac{\sqrt{5}+3}{2}-1$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} ικανοποιεί την εξίσωση.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Η εξίσωση \sqrt{x}=x-1 έχει μια μοναδική λύση.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$