Επίλυση sqrt{5x+16}+x=10

$$\sqrt{ 5x+16 } +x=10$$

Λύση ως προς x

$$x=4$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε x και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\sqrt{5x+16}=10-x$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{5x+16}\right)^{2}=\left(10-x\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{5x+16}στη δύναμη του 2 και λάβετε 5x+16.

$$5x+16=\left(10-x\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(10-x\right)^{2}.

$$5x+16=100-20x+x^{2}$$

Αφαιρέστε 100 και από τις δύο πλευρές.

$$5x+16-100=-20x+x^{2}$$

Αφαιρέστε 100 από 16 για να λάβετε -84.

$$5x-84=-20x+x^{2}$$

Προσθήκη 20x και στις δύο πλευρές.

$$5x-84+20x=x^{2}$$

Συνδυάστε το 5x και το 20x για να λάβετε 25x.

$$25x-84=x^{2}$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$25x-84-x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-x^{2}+25x-84=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx-84. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=25 ab=-\left(-84\right)=84$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 84.

$$1,84 2,42 3,28 4,21 6,14 7,12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+84=85 2+42=44 3+28=31 4+21=25 6+14=20 7+12=19$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 25.

$$a=21 b=4$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+25x-84 ως \left(-x^{2}+21x\right)+\left(4x-84\right).

$$\left(-x^{2}+21x\right)+\left(4x-84\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(x-21\right)+4\left(x-21\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-21 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-21\right)\left(-x+4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-21=0 και -x+4=0.

$$x=21 x=4$$

Αντικαταστήστε το x με 21 στην εξίσωση \sqrt{5x+16}+x=10.

$$\sqrt{5\times 21+16}+21=10$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=21 δεν ικανοποιεί την εξίσωση.

$$32=10$$

Αντικαταστήστε το x με 4 στην εξίσωση \sqrt{5x+16}+x=10.

$$\sqrt{5\times 4+16}+4=10$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=4 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$10=10$$

Η εξίσωση \sqrt{5x+16}=10-x έχει μια μοναδική λύση.

$$x=4$$