Επίλυση sqrt{4n+3}=n

$$\sqrt{ 4n+3 } = n$$

Λύση ως προς n

$$n=\sqrt{7}+2\approx 4,645751311$$

Βήματα λύσης

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{4n+3}\right)^{2}=n^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{4n+3}στη δύναμη του 2 και λάβετε 4n+3.

$$4n+3=n^{2}$$

Αφαιρέστε n^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4n+3-n^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-n^{2}+4n+3=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με 4 και το c με 3 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)\times 3}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το 4 στο τετράγωνο.

$$n=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)\times 3}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$n=\frac{-4±\sqrt{16+4\times 3}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 3.

$$n=\frac{-4±\sqrt{16+12}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 16 και το 12.

$$n=\frac{-4±\sqrt{28}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 28.

$$n=\frac{-4±2\sqrt{7}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$n=\frac{-4±2\sqrt{7}}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{-4±2\sqrt{7}}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -4 και το 2\sqrt{7}.

$$n=\frac{2\sqrt{7}-4}{-2}$$

Διαιρέστε το -4+2\sqrt{7} με το -2.

$$n=2-\sqrt{7}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{-4±2\sqrt{7}}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2\sqrt{7} από -4.

$$n=\frac{-2\sqrt{7}-4}{-2}$$

Διαιρέστε το -4-2\sqrt{7} με το -2.

$$n=\sqrt{7}+2$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$n=2-\sqrt{7} n=\sqrt{7}+2$$

Αντικαταστήστε το n με 2-\sqrt{7} στην εξίσωση \sqrt{4n+3}=n.

$$\sqrt{4\left(2-\sqrt{7}\right)+3}=2-\sqrt{7}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή n=2-\sqrt{7} δεν ικανοποιεί την εξίσωση, επειδή η αριστερή και η δεξιά πλευρά έχουν αντίθετα σήματα.

$$7^{\frac{1}{2}}-2=2-7^{\frac{1}{2}}$$

Αντικαταστήστε το n με \sqrt{7}+2 στην εξίσωση \sqrt{4n+3}=n.

$$\sqrt{4\left(\sqrt{7}+2\right)+3}=\sqrt{7}+2$$

Απλοποιήστε. Η τιμή n=\sqrt{7}+2 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$2+7^{\frac{1}{2}}=2+7^{\frac{1}{2}}$$

Η εξίσωση \sqrt{4n+3}=n έχει μια μοναδική λύση.

$$n=\sqrt{7}+2$$