Επίλυση sqrt{3x+12}-1=sqrt{5x+9}

$$\sqrt{ 3x+12 } -1= \sqrt{ 5x+9 }$$

Λύση ως προς x

$$x=-1$$

Βήματα λύσης

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{3x+12}-1\right)^{2}=\left(\sqrt{5x+9}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(\sqrt{3x+12}-1\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{3x+12}\right)^{2}-2\sqrt{3x+12}+1=\left(\sqrt{5x+9}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{3x+12}στη δύναμη του 2 και λάβετε 3x+12.

$$3x+12-2\sqrt{3x+12}+1=\left(\sqrt{5x+9}\right)^{2}$$

Προσθέστε 12 και 1 για να λάβετε 13.

$$3x+13-2\sqrt{3x+12}=\left(\sqrt{5x+9}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{5x+9}στη δύναμη του 2 και λάβετε 5x+9.

$$3x+13-2\sqrt{3x+12}=5x+9$$

Αφαιρέστε 3x+13 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-2\sqrt{3x+12}=5x+9-\left(3x+13\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 3x+13, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$-2\sqrt{3x+12}=5x+9-3x-13$$

Συνδυάστε το 5x και το -3x για να λάβετε 2x.

$$-2\sqrt{3x+12}=2x+9-13$$

Αφαιρέστε 13 από 9 για να λάβετε -4.

$$-2\sqrt{3x+12}=2x-4$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(-2\sqrt{3x+12}\right)^{2}=\left(2x-4\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(-2\sqrt{3x+12}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{3x+12}\right)^{2}=\left(2x-4\right)^{2}$$

Υπολογίστε το -2στη δύναμη του 2 και λάβετε 4.

$$4\left(\sqrt{3x+12}\right)^{2}=\left(2x-4\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{3x+12}στη δύναμη του 2 και λάβετε 3x+12.

$$4\left(3x+12\right)=\left(2x-4\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4 με το 3x+12.

$$12x+48=\left(2x-4\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x-4\right)^{2}.

$$12x+48=4x^{2}-16x+16$$

Αφαιρέστε 4x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$12x+48-4x^{2}=-16x+16$$

Προσθήκη 16x και στις δύο πλευρές.

$$12x+48-4x^{2}+16x=16$$

Συνδυάστε το 12x και το 16x για να λάβετε 28x.

$$28x+48-4x^{2}=16$$

Αφαιρέστε 16 και από τις δύο πλευρές.

$$28x+48-4x^{2}-16=0$$

Αφαιρέστε 16 από 48 για να λάβετε 32.

$$28x+32-4x^{2}=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$7x+8-x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-x^{2}+7x+8=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx+8. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=7 ab=-8=-8$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -8.

$$-1,8 -2,4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 7.

$$a=8 b=-1$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+7x+8 ως \left(-x^{2}+8x\right)+\left(-x+8\right).

$$\left(-x^{2}+8x\right)+\left(-x+8\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(x-8\right)-\left(x-8\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-8 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-8\right)\left(-x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-8=0 και -x-1=0.

$$x=8 x=-1$$

Αντικαταστήστε το x με 8 στην εξίσωση \sqrt{3x+12}-1=\sqrt{5x+9}.

$$\sqrt{3\times 8+12}-1=\sqrt{5\times 8+9}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=8 δεν ικανοποιεί την εξίσωση.

$$5=7$$

Αντικαταστήστε το x με -1 στην εξίσωση \sqrt{3x+12}-1=\sqrt{5x+9}.

$$\sqrt{3\left(-1\right)+12}-1=\sqrt{5\left(-1\right)+9}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=-1 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$2=2$$

Η εξίσωση \sqrt{3x+12}-1=\sqrt{5x+9} έχει μια μοναδική λύση.

$$x=-1$$