Επίλυση sqrt{2x-3}=2+sqrt{x-5}

$$\sqrt{ 2x-3 } = 2+ \sqrt{ x-5 }$$

Λύση ως προς x

$$x=14$$

$$x=6$$

Βήματα λύσης

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{2x-3}στη δύναμη του 2 και λάβετε 2x-3.

$$2x-3=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x-5}στη δύναμη του 2 και λάβετε x-5.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+x-5$$

Αφαιρέστε 5 από 4 για να λάβετε -1.

$$2x-3=-1+4\sqrt{x-5}+x$$

Αφαιρέστε -1+x και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2x-3-\left(-1+x\right)=4\sqrt{x-5}$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του -1+x, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$2x-3+1-x=4\sqrt{x-5}$$

Προσθέστε -3 και 1 για να λάβετε -2.

$$2x-2-x=4\sqrt{x-5}$$

Συνδυάστε το 2x και το -x για να λάβετε x.

$$x-2=4\sqrt{x-5}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(x-2\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=4^{2}\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το 4στη δύναμη του 2 και λάβετε 16.

$$x^{2}-4x+4=16\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x-5}στη δύναμη του 2 και λάβετε x-5.

$$x^{2}-4x+4=16\left(x-5\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 16 με το x-5.

$$x^{2}-4x+4=16x-80$$

Αφαιρέστε 16x και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-4x+4-16x=-80$$

Συνδυάστε το -4x και το -16x για να λάβετε -20x.

$$x^{2}-20x+4=-80$$

Προσθήκη 80 και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}-20x+4+80=0$$

Προσθέστε 4 και 80 για να λάβετε 84.

$$x^{2}-20x+84=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}-20x+84 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-20 ab=84$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 84.

$$-1,-84 -2,-42 -3,-28 -4,-21 -6,-14 -7,-12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-84=-85 -2-42=-44 -3-28=-31 -4-21=-25 -6-14=-20 -7-12=-19$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -20.

$$a=-14 b=-6$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-14\right)\left(x-6\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-14=0 και x-6=0.

$$x=14 x=6$$

Αντικαταστήστε το x με 14 στην εξίσωση \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 14-3}=2+\sqrt{14-5}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=14 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$5=5$$

Αντικαταστήστε το x με 6 στην εξίσωση \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 6-3}=2+\sqrt{6-5}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=6 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$3=3$$

Λίστα όλων των λύσεων για το \sqrt{2x-3}=\sqrt{x-5}+2.

$$x=14 x=6$$