Επίλυση sqrt{2x+1}-sqrt{2x-1}=1

$$\sqrt{ 2x+1 } - \sqrt{ 2x-1 } =1$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{5}{8}=0,625$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε -\sqrt{2x-1} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\sqrt{2x+1}=1+\sqrt{2x-1}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{2x+1}στη δύναμη του 2 και λάβετε 2x+1.

$$2x+1=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$2x+1=1+2\sqrt{2x-1}+\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{2x-1}στη δύναμη του 2 και λάβετε 2x-1.

$$2x+1=1+2\sqrt{2x-1}+2x-1$$

Αφαιρέστε 1 από 1 για να λάβετε 0.

$$2x+1=2\sqrt{2x-1}+2x$$

Αφαιρέστε 2\sqrt{2x-1} και από τις δύο πλευρές.

$$2x+1-2\sqrt{2x-1}=2x$$

Αφαιρέστε 2x και από τις δύο πλευρές.

$$2x+1-2\sqrt{2x-1}-2x=0$$

Συνδυάστε το 2x και το -2x για να λάβετε 0.

$$1-2\sqrt{2x-1}=0$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$-2\sqrt{2x-1}=-1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -2.

$$\sqrt{2x-1}=\frac{-1}{-2}$$

Το κλάσμα \frac{-1}{-2} μπορεί να απλοποιηθεί σε \frac{1}{2} , καταργώντας το αρνητικό πρόσημο από τον αριθμητή και τον παρονομαστή.

$$\sqrt{2x-1}=\frac{1}{2}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2x-1=\frac{1}{4}$$

Προσθέστε 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2x-1-\left(-1\right)=\frac{1}{4}-\left(-1\right)$$

Η αφαίρεση του -1 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$2x=\frac{1}{4}-\left(-1\right)$$

Αφαιρέστε -1 από \frac{1}{4}.

$$2x=\frac{5}{4}$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x}{2}=\frac{\frac{5}{4}}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x=\frac{\frac{5}{4}}{2}$$

Διαιρέστε το \frac{5}{4} με το 2.

$$x=\frac{5}{8}$$

Αντικαταστήστε το x με \frac{5}{8} στην εξίσωση \sqrt{2x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{2\times \frac{5}{8}+1}-\sqrt{2\times \frac{5}{8}-1}=1$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=\frac{5}{8} ικανοποιεί την εξίσωση.

$$1=1$$

Η εξίσωση \sqrt{2x+1}=\sqrt{2x-1}+1 έχει μια μοναδική λύση.

$$x=\frac{5}{8}$$